Центральная предельная теорема Ляпунова. Предельная теорема Муавра-Лапласа.

Лекция 14.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточ-но большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практичес-ких приложений.

Характеристические функции.

Для доказательства центральной предельной теоремы используется метод характеристичес-ких функций.

Определение 14.1. Характеристической функцией случайной величины Х называется функция

g (t) = M ( e^itX ) (14.1)

Таким образом, g (t) представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины U = e^itX, связанной с величиной Х. В частности, если Х – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения, то

. (14.2)

Теорема 14.2 (теорема Ляпунова). Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, для которых выполнено условие:

, (14.7)

где b_k – третий абсолютный центральный момент величины Х_к, а D_k – ее дисперсия, то Х имеет распределение, близкое к нормальному ( условие Ляпунова означает, что влияние каждого слагаемого на сумму ничтожно мало).

Практически можно использовать центральную предельную теорему при достаточно небольшом количестве слагаемых, так как вероятностные расчеты требуют сравнительно малой точности. Опыт показывает, что для суммы даже десяти и менее слагаемых закон их распределения можно заменить нормальным.

Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Муавра-Лапласа.

Теорема 14.3 (теорема Муавра-Лапласа). Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение:

(14.8)

где Y – число появлений события А в п опытах, q = 1 – p.

Доказательство.

Будем считать, что , где Х_i – число появлений события А в i-м опыте. Тогда случай-ную величину (см. теорему 14.1) можно считать распределенной по нормальному закону и нормированной, следовательно, вероятность ее попадания в интервал (α, β) можно найти по формуле

.

Поскольку Y имеет биномиальное распределение, . Тогда . Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получим равенство (14.8).

Следствие.

В условиях теоремы Муавра-Лапласа вероятность того, что событие А появится в п опытах ровно k раз, при большом количестве опытов можно найти по формуле:

(14.9)

где , а (значения этой функции приводятся в специальных таблицах).

Пример 3. Найти вероятность того, что при 100 бросках монеты число выпадений герба окажется в пределах от 40 до 60.

Применим формулу (14.8), учитывая, что п = 0,5. Тогда пр = 100·0,5 = 50, Тогда, если Следовательно,

Пример 4. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что выпадет 45 гербов.

Найдем , тогда