Оценка статистической значимости показателей.

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации R2 будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df— degrees of freedom), т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности N и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из N возможных требуется для образования данной суммы квадратов.

Так, для общей суммы квадратов требуется (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из n единиц после расчета среднего уровня варьируют лишь (n - 1) число отклонений. При расчете факторной суммы квадратов - 1 степень свободы, и при расчете остаточной суммы квадратов - (n-2) степени свободы.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F – отношения (F - критерий):

(8.1)

В качестве нулевой гипотезы Н0выдвигается предположение о том, что линейной зависимости между x и y не существует.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы.

Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F -отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

Если же величина окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена, без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым, Н0 не отклоняется.

Практическое занятие №2,3

Задание 1

Условие: В течение месяца были получены 10 уровней маржинального дохода (в процентах к выручке): (N = 6)

N +5; N+3; N+6; N+7; N+8; N+4; N+3; N+2; N+6; N+5

Используя метод экспоненциального сглаживания для интервала (к = 0,2) получите прогнозируемое значение для 11-го результата.

Решение:

F₀ = F₁ +S (D₁ - F₁), где

F₀ - текущий прогноз,

F₁ - прогноз сделанный 1 период времени назад,

S - сглаживающая константа,

D₁ - последнее наблюдение.

1 - 11%

2 - 9% F₀ = 11 + 0,2 * 0 =11

3 - 12% F₀ = 11 + 0,2 * (9 - 11)=11+ 0,2*(-2) = 10,6

4 - 13% F₀ = 10,6 + 0,2 *(12-10,6) =10,6+0,28=10,88

5 - 14% F₀ = 10,88 + 0,2 *(13-10,88) =10,88+0,424=11,304

6 - 10% F₀ = 11,304 + 0,2*(14-11,304) =11,304+0,539=11,843

7 - 9% F₀ = 11,843 + 0,2 *(10-11,843) =11,843-0,369=11,474

8 - 8% F₀ = 11,474 + 0,2 *(9-11,474) =11,474-0,495=10,979

9 - 12% F₀ = 10,979 + 0,2 *(8-10,979) =10,979-0,596=10,383

10 - 11% F₀ = 10,383 + 0,2 *(12-10,383) =10,383+0,323=10,706

11 - ? F₀ = 10,706 + 0,2 *(11-10,706) =10,706+0,059=10,765

Вывод: Для 11-го результата прогнозируемое значение равно 10,765%.

Задание 2

Условие: Определите вид эмпирической формулы, отвечающей следующей таблице(N = 6):

Решение:

Парабола второй степени

y = ax² +bx + c

y₁ = ax₁² +bx₁ + c + V₁

y₂ = ax₂² +bx₂ + c + V₂

y_n = ax_n² +bx_n + c + V_n

y_i = ax_i² +bx_i + c + V_i

V_i = y_i - ax_i² - bx_i - c

V_i² = (y_i - ax_i² - bx_i - c)² - min

(y_i - ax_i² - bx_i - c)²

F_a,b,c =

Для a, b, c функция будет минимальной

= 0; = 0; = 0

(f²) = 2f*f

Cоставляем систему уравнений

y = ax² + bx + c

5c = 514 - 90a - 20b

10b = 683 - 80a

654a + 8(683 - 80a) = 5869

574a = 5869 - 5464

14a = 405

a = 28,93

b = = = - 163,14

c = = = = 234.62

Вывод: эмпирическая формула у =28,93х² - 163,14х + 234,62

Тема № 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация