Принцип суперпозиции

Линеаризация физических систем

Подавляющее большинство физических систем являются линейными лишь в некотором диапазоне изменения переменных. Однако при неограниченном возрастании этих переменных все системы я конечном счете становятся нелинейными.

Систему можно определить как линейную, если воспользоваться действующим на нее возмущением и реакцией на это возмущение. В общем случае необходимым условием линейности системы является соответствующая связь между возмущением x(t) и реакцией y(t). Если к системе, находящейся в состоянии покоя, приложить возмущение x₁(t), то на выходе появится реакция y₁(t). Если при тех же условиях подвергнуть систему возмущению x₂(t), то она даст соответствующую реакцию y₂(t). Необходимым условием линейности является то, чтобы при возмущении x₁(t) + x₂(t) система давала реакцию y₁(t) + y₂(t). Это положение обычно называют принципом суперпозиции.

Линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности.

Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:

Рис. 1 Принцип суперпозиции

Свойство гомогенности

Кроме того, в линейной системе должен выполняться фактор масштабирования. Пусть входом системы является переменная x, а выходом – переменная y. Тогда необходимо, чтобы при умножении входной переменной на константу m реакция (выходная переменная) системы изменилась в такое же число раз, т.е. оказалась равна m y. Это свойство носит название гомогенности.

Таким образом, линейная система удовлетворяет свойствам: суперпозиции и гомогенности.