Види теорем

Розрізняють пряму, обернену, протилежну і обернену до протилежної теореми.

1. АВ – пряма теорема,

2. ВА – обернена теорема,

3. - протилежна теорема,

4. - обернена до протилежної теорема.

Пряма і обернена до протилежної теореми є рівносильними.

Приклад: «Якщо кути вертикальні, то вони рівні» – пряма теорема.

А: «кути вертикальні», В: «кути рівні».

АВ – пряма теорема.

Обернена: ВА: «Якщо кути рівні, то вони вертикальні».

Протилежна: : «Якщо кути не вертикальні, то вони не рівні».

Обернена до протилежної: : «Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні».

Існує зв'язок між названими видами теорем. Встановлено, що теореми АВ і рівносильні, тобто АВ . Отриману рівносильність називають законом контрапозиції.

3. Найпростіші схеми правильних міркувань

У математиці існує ряд загальних методів доведення теорем. Розглянемо деякі з них.

Дедуктивне доведення.Це основний метод математичних доведень. Кожен його крок ґрунтується на певному логічному законі, аксіомі або даних теорем, і все доведення є ланцюжок логічних умовиводів. При такому доведенні з правильних умов теореми ми з необхідністю дістаємо правильний висновок.

Наприклад, теорема: «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то, оскільки воно ділиться на 2 і не ділиться на 6, воно не ділиться на 3».

Введемо позначення: А- «число ділиться на 2», В – «число ділиться на 3», С – «число ділиться на 6».

Доведення цієї теореми запишемо за допомогою послідовних дедуктивних умовиводів.

1) А, В – умова теореми;

2) АВ;

3) АВ С;

4) (АВ С) (А);

5) (А).

На третьому кроці використано теорему: якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток.

Повна індукція.Термін «індукція» походить від латинського induktio – наведення. У математиці використовуються повна й неповна індукції.

Доведення методом повної індукції полягає в розгляді всіх окремих випадків (чисел, фігур тощо), при яких теорема правильна. Кількість таких випадків повинна бути скінченною і невеликою за кількістю.

Теорема: Значення виразу с = а2 + b2, (а, bZ) є число, що при діленні на 4 не має остачі 3.

Доведення теореми проведемо, розглядаючи три випадки: 1) обидва числа парні; 2) обидва числа непарні; 3) одне число парне, друге – непарне.

Нехай а, b – парні, тобто а = 2m, b = 2n, m, n Z. Дістанемо

с = (2m)2 + (2n)2 = 4m2 + 4n2 = 4∙ (m2 + n2), тобто с 4, остача 0.

Нехай а, b – непарні числа, тобто а = 2m + 1, b = 2n + 1, m, n Z. Маємо

с = (2m + 1)2 + (2n + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1= 4 (m2 + n2 + m + n) + 2,

а це означає, що при ділені с на 4 дістанемо остачу 2 , а не 3.

Випадок 3) спробуйте розглянути самостійно.

Непрямі доведення.

Зведення до абсурду. Цей метод полягає в тому, що в теоремі АВ припускають, що правильним буде . Якщо в результаті цього припущення приходять до неправильного висновку, абсурду, то роблять висновок, що наслідок В теореми АВ правильний.

Цим способом доводять, наприклад, таку теорему: Якщо дві різні прямі а і b паралельні третій прямій с, то вони паралельні між собою.

Припустимо , тобто а і b не паралельні. Тоді вони перетинаються в якійсь точці К, яка не належить с. Дістанемо, що через точку К поза прямою с можна провести дві прямі а і b, які паралельні с, а це суперечить аксіомі паралельності, тобто є хибним твердженням. Отже, правильним твердженням є В.

Метод від супротивного. Цей спосіб ґрунтується на законі контрапозиції АВ = .

Теорема: Довести, що коли аb– непарне число, то обидва множники а і b – непарні цілі числа.

Позначимо А: «добуток аb– непарне число», Т: «а – непарне число», S: «b – непарне число». Тоді теорема скорочено запишеться так:

A ST, або АВ, де В «ST».

Припустимо, що = = , тобто один із множників а або b є парним числом. Нехай, наприклад, а – парне, тобто а = 2m, mZ. Тоді ab = 2mb – парне число, тоді дістали . Таким чином довели теорему , а цим самим і дану теорему АВ.

Поширеним прикладом неправильних міркувань є непродумане використання неповної індукції, коли загальний висновок зроблено на основі окремих спостережень, експериментів, розгляду скінченної кількості їх. Використання неповної індукції може привести як до правильних, так і неправильних висновків. Так, побудувавши кілька графіків лінійних рівнянь з двома змінними в прямокутній системі координат і побачивши, що вони є прямими лініями, робимо висновок, що графік кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма лінія. Цей умовивід – правильний. Прикладом, коли неповна індукція приводить до хибного результату є теорема Ферма. Ще у XVII ст. математик П. Ферма (1601 – 1665) помітив, що числа виду Fn =22n+1 при n = 0, 1, 2, 3, 4 – прості: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.

Ферма висловив припущення, що при будь-якому n N числа такого виду є простими (їх стали називати простими числами Ферма). Ця гіпотеза була висловлена на основі кількох обчислювальних експериментів. У 1732 р. видатний математик Л. Ейлер (1707 – 1783) показав, що при n = 5

F5 = 4294967297 = 641 ∙ 6700417, тобто F5 не є простим числом. Цей контрприклад спростував гіпотезу Ферма.