Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Данные экономических исследований не всегда можно считать выборкой из многомерной нормальной совокупности, когда одна из переменных не является случайной или когда линия регрессии явно не прямая и т.п.

В этих случаях пытаются определить кривую, которая дает наилучшее (в случае МНК) приближение к исходных данным. Эти методы приближения получили название регрессионного анализа.

1. Функциональная зависимость – когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой переменной.

2.В экономике между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной. Т.е. каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной.Такая зависимость называется статистической или стохастической или вероятностной. Зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменной неизбежно сопровождается некоторой случайностью или ошибками. Например: зависимость урожайности от количества внесенных удобрений; производительность труда на предприятии от его энерговооруженности и т.д. В силу неоднозначности статистической зависимости между У и Х для исследователя представляет интерес усредненная по Х схема зависимости.

3.Если зависимость между двумя переменными такова, что каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой, то такая статистическая зависимость называется корреляционной.

Иначе, корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

М_х(У) = φ(Х) или М_У(Х) = ψ(У) (*)

4. В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной переменной У от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной Х. Например, когда при каждом фиксированном значении Х соответствующие значения У подвержены случайному разбросу за счет действия ряда неконтролируемых факторов. Такая зависимость называется регрессионной. При этом зависимую переменную У называют также: функцией отклика, объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком, а переменную Х – объясняющей, входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком.

Уравнение М_х(у) = φ(х) или М_У(х) = ψ(у) (1)

Называется модельным уравнением регрессии (или уравнением регрессии), φ(х) – функцией регрессии (или модельной функцией регрессии), а ее график – модельной линией регрессии (или линией регрессии).

Для точного описания необходимо знать закон распределения зависимой переменной У, при условии, что Х принимает значение х. В статистической практике такую информацию получить как правило не удается, т.к. обычно исследователь располагает только выборкой пар значений (x_i, y_i) ограниченного объема n. В этом случае речь может идти об оценке (приближенном значении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии:

(2)

где - условная (групповая) средняя переменной У при фиксированном значении переменной Х = х, - параметры кривой. (2) называют выборочным уравнением регрессии.

При правильно определенной аппроксимирующей функции , с увеличением объема выборки (n → ∞) оно будет сходится по вероятности к функции регрессии φ (x).