Властивості циклічних кодів

Серед основних властивостей циклічного коду можна визначити:

1) Якщо прийнята комбінація ділиться на багаточлен, який утворює, без залишку, то код прийнятий безпомилково.

Приклад 1.Нехай, як в прикладі, наведеному вище, при повідомленні 1011, m = 4, коли утворюючий багаточлен Р(x) = х3 + х2 + х0, одержана кодова комбінація F (x) = 1011100, в якій перевірочні розряди займають три останні позиції.

Нехай прийнята комбінація не має спотворень: . Розділемо прийняту комбінацію F(x) на багаточлен, який утворює:

х6 + х4 + х3 + х2 х3 + х2 + 1

х6 + х5 + х3 х3 + х2

х5 + х4+ х2

х5 +х4 + х2

= 0

Оскільки залишок дорівнює нулю, то спотворень не виявлено.

2) Циклічний код виявляє всі одиночні помилки, якщо утворюючий поліном містить більш за одного члена. Якщо G(x) = x + 1, то код виявляє одиночні помилки і всі непарні;

3) Циклічний код з G(x)=(x+1)G(x) виявляє всі одиночні, подвійні і потрійні помилки;

4) Циклічний код із утворюючим поліномом G(x) ступеня k = n - m виявляє всі групові помилки тривалістю в k символів.

5) Циклічний зсув не спотвореної (дозволеної) комбінації циклічного коду дає дозволену комбінацію. Отже, зсув не спотвореної (дозволеної) комбінації циклічного коду на будь-яку кількість розрядів не виявляється (дає дозволену комбінацію).

Дійсно, такий зсув, наприклад на і розрядів, є еквівалентним множенню вихідної комбінації на величину xі, тобто перетворенню типу F(x) → xі· F(x). Тоді при перевірці на наявність спотворень результат ділення зсунутої комбінації на утворюючий поліном: xі·F(x)/Р(x) = xі·[F(x)/Р(x)] = xі·0 = 0 дає в наслідку залишок, який дорівнює нулю, що призводить до висновку щодо відсутності спотворень (наявності дозволеної комбінації).

Приклад 2.Циклічний зсув одержаної в прикладі 1 комбінації має вигляд Fц(x) = 0111001 = х5 + х4 + х3 + 1 і повинен дати дозволену комбінацію. Для перевірки цього розділімо одержану комбінацію Fц(x) на утворюючий поліном:

х5 + х4 + х3+ 1 х3 + х2 + 1

х5 + х4 + х2 х2 + 1

х3 + х2+ 1

х3 + х2 +1

R (x) = 0

Наявність залишку, який дорівнює нулю, свідчить про правильність цього твердження.

6) Наявність відмінного від нуля залишку від ділення F(x)/Р(x) свідчить про наявність спотворення, але не вказує, якого саме.Дійсно наявність спотворення є еквівалентним тому, що передана комбінація перетворилася в комбінацію:де: – вектор спотворень. Результат ділення прийнятої комбінації на багаточлен, який утворює , слід розглядати як такий, що складається із двох доданків:де перший доданок, виходячи із властивостей коду, дорівнює нулю, .

Звернемо увагу на те, що одержаний результат ділення встановлює однозначну відповідність між та і є ознакою наявності (синдромом) спотворення відповідного символу.

Ця властивість надає принципову можливість визначення, при певних умовах, і місця спотворення.