Вимушені коливання струни

Задача про вимушені коливання скінченної струни довжини l зводиться до інтегрування неоднорідного диференціального рівняння:

, , (4.13)

при заданих додаткових умовах:

П.У. К.У.

Тут функція є заданою у всій розглядуваній області.

Як і при розв’язуванні звичайних неоднорідних диференціальних рівнянь, розв’язок рівняння (4.13) можна шукати як суму двох функцій:

(4.14)

перша з яких задовольняє однорідне рівняння

, (4.15)

при умовах:

П.У. К.У.

а друга функція задовольняє неоднорідне рівняння

, (4.16)

при однорідних умовах

П.У. К.У.

Функція описує вільні коливання струни, зумовлені наявністю початкових відхилень та початкових швидкостей точок струни. Метод відшукання цієї функції нами вже з’ясовано раніше.

Функція описує вимушені коливання струни, зумовлені дією зовнішніх сил, якщо немає початкових відхилень та швидкостей. Для знаходження функції застосуємо метод Фур’є. Спробуємо знайти функцію як ряд за власними функціями

відповідної однорідної задачі, тобто візьмемо:

, (4.17)

де функції підлягають визначенню.

Крайові умови для функції задовольняються, бо всі власні функції задовольняють їх. Щоб задовольнити і початкові умови, досить покласти:

.

Підставляючи функцію в рівняння (4.16) одержимо

. (4.18)

З метою подальших перетворень розглянемо функцію як функцію однієї змінної (тобто вважатимемо параметром). Припустимо, що функцію можна розкласти в інтервалі в ряд Фур’є за синусами як функцію однієї змінної :

,

де

.

Щоб рівняння (4.18) задовольнялося, досить накласти вимогу, щоб коефіцієнти при синусах були однакові:

. (4.19)

Для визначення маємо звичайне лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами при нульових початкових умовах:

П.У.

Розв’язок рівняння (4.19) можна шукати методом варіації довільних сталих.

Таким чином, визначивши функції і , знаходимо розв’язок даної задачі як їх суму .

Приклад 4.3 Знайти коливання важкої струни із закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу перебувала в стані спокою і мала форму .

Поставимо задачу:

, , ,

П.У. К.У.

Шукаємо розв’язок згідно наведеної методики у вигляді:

.

Знайдемо складові і із відповідних постановок.

1) Постановка задачі для :

, ,

при умовах:

П.У. К.У.

Знайдемо розв’язок цієї задачі за методом Фур’є:

,

де ,

для всіх , а для :

Тоді розв’язок:

.

3) Постановка задачі для :

, , ,

П.У. К.У.

Шукатимемо функцію у вигляді ряду:

.

Підставимо цю функцію в рівняння:

.

Розкладемо вільний член в ряд Фур’є за синусами:

,

де

Отже,

.

Для маємо рівняння

.

Прирівнюючи коефіцієнти при синусах, отримаємо:

.

Виключимо нульові значення в правій частині. Для цього достатньо ввести заміну нумерації:

,

Тоді

,

при початкових умовах:

П.У.

Одержали лінійне диференціальне рівняння другого порядку із спеціальною правою частиною. Розв’язок шукаємо у вигляді:

,

де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

.

Розв’язавши характеристичне рівняння

,

маємо:

.

Тоді загальний розв’язок

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння , враховуючи праву частину, шукаємо у вигляді: .

Для знаходження невідомої сталої підставимо в рівняння:

.

Звідси

.

Тоді

.

Отже,

.

Знайдемо і із початкових умов:

Тоді

;

.

Відповідь: