Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2:

.

Задача 1. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон ее распределения:

Решение.

1 способ: Найдем дисперсию по определению. Для этого сначала найдем математическое ожидание случайной величины X, получим:

.

Найдем все возможные значения квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

;

;

;

;

.

Напишем закон распределения квадрата отклонения случайной величины X.

Таким образом, дисперсия равна:

.

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалось относительно громоздким. Далее приведем формулу, которая приведет к цели значительно быстрее. Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом её математического ожидания: .

2 способ:Воспользуемся теоремой. Напишем закон распределения случайной величины :

Найдем математическое ожидание :

.

Из 1 способа решения , тогда искомая дисперсия находится по формуле:

.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А постоянна.

Теорема 3. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: .

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то теорему можно сформулировать следующим образом: дисперсия биномиального распределения с параметрами n и p равна произведению npq.

Задача 2. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что М(Х)= 0,9.

Решение. Так как случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то . Тогда , следовательно, , (по условию задачи). Тогда по теореме: .