Теоремы Гюльдена

Теорема 1 Площадь поверхности, полученной вращением некоторой плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и ее не пересекающей, равна длине этой линии, умноженной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Доказательство. Представим себе поверхность полученную вращением дуги АВ некоторой плоской кривой линии вокруг оси Оу (рис.9.5)

Рис.9.5.

Пусть центр тяжести этой дуги находится в точке С.

Обозначим его абсциссу через х_С. Впишем в дугу АВ ломаную линию, состоящую из весьма большого числа малых прямолинейных отрезков. Рассмотрим одну из сторон этой ломаной линии ав. Центр тяжести прямолинейного отрезка ав находится в его середине – точке м. Обозначим абсциссу этой точки через х. При вращении вокруг оси Оу отрезок опишет усеченный конус. Если обозначим длину отрезка ав через Δl', то боковая поверхность этого конуса будет равна

С другой стороны, если обозначим через х_С абсциссу центра тяжести С' этой ломаной линии, то , где

Перейдем к пределу, предполагая, что число сторон вписанной ломаной линии стремится к бесконечности, а длина каждой стороны стремится к нулю:

и вокруг той же оси:

Перейдем к пределу, предполагая, что площадь прямоугольников стремиться к нулю:

С другой стороны, обозначив абсциссу центра тяжести С данной фигуры через х_С, координаты центра тяжести будут равны:

, откуда . Следовательно, ч.т.д.

Пример. Поверхность и объем тора. рис.9.7. Теоремы Гюльдена позволяют легко найти объемы и площади поверхности тел вращения.

Рис.9.7.

Центр тяжести окружности находится в ее геометрическом центре в точке С.

По первой теореме Гюльдена поверхность тора равна:

По второй теореме объем тора равен