Физические основы зрения
Физика зрения
Интегралы от квадратичных иррациональностей
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Интегралы типа
При интегрировании используются следующие приемы:
1. Подстановка sinx =t, если n=2k+1, k Z+.
2. Подстановка cosx =t, если m=2k+1, k Z+.
3. Формулы понижения порядка:
,
,
,
если m=2k, n=2k, k Z+.
4. Подстановка tgx =t, если m +n =2k, k Z-.
Пример 3.Найти интеграл
.
Решение ▼
.
▲
Пример 4.Найти интеграл
.
Решение ▼ m + n = –4.
.
▲
Интегралы типа
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5)
называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей (Pn(x) – алгебраический полином n ≥2).
Для нахождения интегралов 1) - 3) под радикалом выделяется полный квадрат
.
Затем делается подстановка
.
Пример 5.Найти интеграл
.
Решение ▼
.
.
Первый интеграл
.
Второй интеграл
.
.
▲
Интегралы 4), т.е.
находятся по формуле Остроградского:
(1)
,
где Qn–1(x) – полином степени n–1 с неопределенными коэффициентами; λ – число, подлежащее определению.
Для нахождения неопределенных коэффициентов и λ необходимо:
-продифференцировать формулу Остроградского по x;
-умножить обе части полученного равенства на ;
-сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.
Пример 6.Найти интеграл
.
Решение ▼ По формуле (1)
.
Выполняем дифференцирование
.
Применяем метод сравнения коэффициентов:
;
.
Система линейных уравнений:
; ; λ = 2.
.
▲
Интегралы 5), т.е.
приводятся к интегралам 4) подстановкой
.
а) Устройство глаза.
Глаз, как оптическая система состоит из следующих элементов (рис. 49):
1. Склера – достаточно прочная внешняя белковая оболочка белого цвета, защищающая глаз и придающая ему постоянную форму.
2. Роговица – передняя часть склеры, более выпуклая и прозрачная, действующая как собирающая линза (оптическая сила Д ~ 40 дптр). Она обеспечивает 75 % фокусирующей способности глаза. Ее толщина 0,6–1 мм; показатель преломления n = 1,38;
3. Радужная оболочка с отверстием – зрачком (4).
Радужная оболочка представляет собой мышечное кольцо, окрашенное пигментом. Это кольцо, сжимаясь или растягиваясь, меняет размеры зрачка и тем самым величину светового потока, попадающего в глаз.
5. Хрусталик – природная прозрачная двояковыпуклая линза диаметром 8–10 мм, имеющая слоистую структуру (n = 1,41) (Д = 20–30 дптр.).
6. Циллиарная связка, которая может натягиваться и расслабляться, меняя радиусы кривизны поверхности хрусталика. Полость между роговицей и хрусталиком (передняя камера) заполнена водянистой влагой (n = nводы) (Д = 2‑4 дптр.).
7. Стекловидное тело (задняя глазная камера) – это стекловидное вещество (n = nводы) (Д = 6 дптр.). Роговица, передняя камера, хрусталик и стекловидное тело образуют оптическую систему, оптический центр которой находится на расстоянии ~ 5 мм от роговицы (фокусное расстояние F = 17,2 мм).
8. Сосудистая оболочка. Ей с внутренней стороны выстлана склера. Это темные пигментные клетки, препятствующие рассеянию света в глазу.
9. Сетчатка – представляет собой полусферу, состоящую из рецепторных клеток, которые образуются при разветвлении зрительного нерва, а нервные окончания имеют вид колбочек и палочек. Колбочки и палочки – это светочувствительный слой, который служит для различения мелких деталей и восприятия цвета. Палочек 120‑125 млн.; колбочек 6 - 10 млн. С помощью палочек человек различает предметы в сумерки и ночью. Диаметр палочек 2 мкм, длина 6 мкм. Диаметр колбочек 7 мкм, длина около 35 мкм. В средней части сетчатки преобладают колбочки, а по краям палочки.
10. Зрительный нерв – он, разветвляясь, образует светочувствительный слой – сетчатку.
11. Слепое пятно – место, где зрительный нерв входит в глаз. Здесь нет ни колбочек, ни палочек. Свет попадающий на эту область не вызывает ощущений.
12. Центральная ямка – область наибольшей остроты зрения. Область вокруг центральной ямки называется желтым пятном. Человек видит ясно те предметы, изображение которых проецируется на желтое пятно.
Роговицу и открытую часть глаза защищает коньюктива – наружная оболочка глаза.
На желтое пятно проецируются изображения, охватывающие по горизонтали 8°, а по вертикали 6°, на центральную ямку ~ 1‑1,5°. Общее поле зрения глаза ~ 120–150°. Общая оптическая сила глаза в покое 60 дптр. При напряжении > 70 дптр.
Глаз как оптическую систему характеризуют следующими параметрами:
б) Аккомодация – приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов.
В норме при приближении предмета к глазу на расстояние до 25 см аккомодация совершается без существенного напряжения. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения.
в) Адаптация – способность глаза приспосабливаться к различным яркостям. Светочувствительность глаза изменяется в широких пределах.
г) Угол зрения – это угол между лучами, идущими от крайних точек предмета через оптический центр глаза. Наименьший угол зрения – угол, при котором человеческий глаз еще различает две точки предмета раздельно.
д) Предел разрешения – наименьшее расстояние между двумя точками предмета, рассматриваемого с расстояния наилучшего зрения, при котором они различимы как отдельные объекты. В норме это 75 мкм.
е) Острота зрения – медицинский показатель – показывает величину, обратную наименьшему углу зрения (
) (в угловых минутах). 
; Для нормального зрения острота равна 1. То есть наименьший угол зрения = 1'. На практике остроту зрения определяют по специальной таблице.