Универсальная тригонометрическая подстановка
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интегрирование рациональных дробей
Общее правило интегрирования рациональных дробей.
1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы полинома и правильной дроби.
2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
3. Проинтегрировать полином и полученную сумму простейших рациональных дробей.
Пример 5.Найти интеграл
.
Решение ▼ Неправильную дробь представляем в виде суммы полинома и правильной дроби:
Получаем
.
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
.
.
Получаем систему линейных уравнений:
Находим: B = 2, A = 0, M = 4, N = 2.
Таким образом
и
.
Производим интегрирование
.
.
Следовательно
.
▲
Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
Обозначим через
R(sinx; cosx)
функцию с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление).
Нахождение определенных интегралов типа
осуществляется подстановкой
,
которая называется универсальной.
Действительно
;
;
; .
Поэтому
,
где R1(t) – рациональная функция от t.
Другие подстановки:
1. Если функция R(sinx; cosx) – нечетная относительно sinx, т.е.
R(–sinx; cosx) = –R(sinx; cosx),
то используется подстановка
t = cosx.
2. Если функция R(sinx; cosx) – нечетная относительно cosx, т.е.
R(sinx; –cosx) = –R(sinx; cosx),
то используется подстановка
t = sinx.
3. Если функция R(sinx; cosx) – четная относительно sinx и cosx, т.е.
R(–sinx; –cosx) = R(sinx; cosx),
то используется
t = tgx.
Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид
.
Пример 1.Найти интеграл
.
Решение ▼
.
▲
Пример 2.Найти интеграл
.
Решение ▼
Подынтегральная функция – четная относительно sinx и cosx, так как
R(–sinx;–cosx)= =R(sinx; cosx).
.
Учтено, что .
▲