Четная и нечетная функция

Пример 1.

Разложение в ряд Фурье сигнала пилообразной формы

Находим коэффициенты а_k и b_k.

Формула интегрирования по частям:

Получим:

В примере, рассмотренном выше, при разложении в ряд Фурье пилообразной функции все слагаемые, содержащие косинусы, исчезли и остались только слагаемые, содержащие синусы. В то же время при разложении функции в ряд Фурье все слагаемые, содержащие синусы, исчезли и остались лишь слагаемые, содержащие косинусы. Почему так происходит?

Обратите внимание на то, что функция обладает следующим свойством:

то есть она симметрична относительно оси ординат. Такая функция называется четной.

Пилообразная функция (Рис. 5.3) обладает другим свойством:

Рис. 5.4. Четные и нечетные функции

Очевидно, что coskt (k = 0, 1, 2, …) – четная функция, а sinkt (k = 1, 2, …) – нечетная (Рис. 5.5).

Понятно, что если проинтегрировать произведение четной и нечетной функций на отрезке, симметричном относительно начала координат, то значение интеграла равно 0.

Следовательно, если сигнал f(t) является четной функцией, то, поскольку sinkt – функция нечетная, получим:

b_k = =0, (k=1,2,…).

Если же функция f(t) – нечетная, то, учитывая то, что coskt является четной функцией, получим тот же результат (Рис. 5.5):

а_k = =0, (k=1,2,…).

Отсюда можно сделать вывод, что ряд Фурье четной функции содержит только косинусы, а ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы.

coskt – четная функция sinkt – нечетная функция

Рис. 5.5. Интегрирование произведения четной и нечетной функций

6.3. Разложение при периоде, не равном 2π

До этого момента мы рассматривали функцию переменной t на отрезке [-π; π]. В случае периодического сигнала с периодом 2π мы брали этот интервал за основной. В общем случае периодического сигнала с периодом Т при разложении в ряд Фурье мы должны использовать интервал [-T/2; T/2]. Если интервал [-π; π] расширить (или сократить) до интервала [-T/2; T/2], то и период первой гармоники увеличится (или уменьшится) от 2π до Т. Поскольку кратность этого преобразования равна T/2π, то составляющие первой гармоники примут вид:

cost sint .

Для составляющих k-й гармоники можно записать:

coskt sinkt .

Следовательно, если функцию f(t) разложить в ряд Фурье на интервале [-T/2; T/2], получим:

(5.3)

Если обозначить угловую частоту через ω₀, то поскольку ω₀=2π/T, выражение (5.3) можно записать и в таком виде:

В соотношении (5.2), определяющем коэффициенты Фурье на отрезке [-π; π],

а_k =

произведем замену переменной

t " ω₀ t,

а также – замену отрезка, на котором берется интеграл

[-π; π] " [-T/2; T/2].

Оставив функцию f(t) без изменения, получим

a_k= (k=0, 1, 2, …).

Аналогичным образом выводится следующее соотношение:

a_k= (k=1, 2, …). (5.5)