Дискретизация. Неоднозначность представления сигнала в частотной области

Предположим, дана последовательность дискретных значений (отсчётов) сигнала: x(0) = 0; x(1) = 0,866; x(2) = 0,866; x(3) = 0; x(4) = -0,866; x(5) = -0,866; x(6) = 0.

 

Можно сделать вывод, что отсчёты могут представлять и другие кратные сигналы.

 

x(t) = sin (2πf0t) – исходный сигнал, дискретизованный сигнал – xn(nΔt) = sin(2πf0nΔt), где t – период дискретизации, тогда:

x(0) = sin(2πf00Δt);

x(1) = sin(2πf01Δt);

x(2) = sin(2πf02Δt).

Поскольку 2 значения синусоиды идентичны, если соответствующие значения аргумента разнесены на интервал, кратный 2π радиан, то xn = sin(2πf0nΔt) будет точно таким же, что и sin (2πf0nΔt+2πm):

sin (2πf0nΔt+2πm) = sin[2π(f0+m/(nΔt))nΔt]

Выберем m кратное n (m/n = k):

sin[2π(f0+k/Δt)nΔt].

В результате, получили значение отсчёта, взятого по данной синусоиде. Последнее полученное выражение показывает, что последовательность цифровых отсчётов x(n), представляющих синусоиду с частотой f0 Гц, точно также представляет синусоиды с другими частотами f0+kfд, k ϵ Z.

 

Дома. Задаться параметрами f0, fД, построить спектр полученного сигнала. Построить спектрограммы для 3х, 4х и более (5-6) значения k. Сроки: до сл. лабы, крайний срок – через лабу (защита).

Чтобы получить зачёт автоматом, надо набрать 35 баллов.

Пример. Выполнить дискретизацию и представить «рядом Котельникова» сигнал напряжением единичной амплитуды и длительностью tи для двух случаев, когда спектр этого сигнала ограничен значениями:

1. fm1 = 1/2fm

2. fm2 = 1/tи

1)
Полученный сигнал похож на исходный
S(t) = ∑S(nΔt)∙φn(t)

S1(t) = (sin((πt)/tи)/

2)

 

2012-03-19

S2(t) =

 

Дискретизованный, в соответствии с теоремой Котельникова, непрерывный сигнал S(t) определён двумя отсчётами на временной оси:

t0 = 0 мкс S(t0) = 20 В

t1 = 2 мкс S(t1) = 15 В

Вычислить мгновенное значение исходного сигнала в момент времени t = 1 мкс (S(1 мкс)).

Sвосст (t) = , где ωд = 2πfд – частота дискретизации

Δt = 2 мкс

fд = 1/Δt; ωд = (2π)/Δt = π/10-6;

Sвосст(t) = 20*(sin 106π (t-0))/(106πt) + 15*(sin 106π (t-2*10-6))/(106π(t-2*10-6)).