Дискретизация. Неоднозначность представления сигнала в частотной области

Предположим, дана последовательность дискретных значений (отсчётов) сигнала: x(0) = 0; x(1) = 0,866; x(2) = 0,866; x(3) = 0; x(4) = -0,866; x(5) = -0,866; x(6) = 0.

Можно сделать вывод, что отсчёты могут представлять и другие кратные сигналы.

x(t) = sin (2πf₀t) – исходный сигнал, дискретизованный сигнал – x_n(nΔt) = sin(2πf₀nΔt), где t – период дискретизации, тогда:

x(0) = sin(2πf₀0Δt);

x(1) = sin(2πf₀1Δt);

x(2) = sin(2πf₀2Δt).

Поскольку 2 значения синусоиды идентичны, если соответствующие значения аргумента разнесены на интервал, кратный 2π радиан, то x_n = sin(2πf₀nΔt) будет точно таким же, что и sin (2πf₀nΔt+2πm):

sin (2πf₀nΔt+2πm) = sin[2π(f₀+m/(nΔt))nΔt]

Выберем m кратное n (m/n = k):

sin[2π(f₀+k/Δt)nΔt].

В результате, получили значение отсчёта, взятого по данной синусоиде. Последнее полученное выражение показывает, что последовательность цифровых отсчётов x(n), представляющих синусоиду с частотой f₀ Гц, точно также представляет синусоиды с другими частотами f₀+kf_д, k ϵ Z.

Дома. Задаться параметрами f₀, f_Д, построить спектр полученного сигнала. Построить спектрограммы для 3х, 4х и более (5-6) значения k. Сроки: до сл. лабы, крайний срок – через лабу (защита).

Чтобы получить зачёт автоматом, надо набрать 35 баллов.

Пример. Выполнить дискретизацию и представить «рядом Котельникова» сигнал напряжением единичной амплитуды и длительностью t_и для двух случаев, когда спектр этого сигнала ограничен значениями:

1. f_m1 = 1/2f_m

2. f_m2 = 1/t_и

1)
Полученный сигнал похож на исходный
S(t) = ∑S(nΔt)∙φ_n(t)

S₁(t) = (sin((πt)/t_и)/

2)

2012-03-19

S₂(t) =

Дискретизованный, в соответствии с теоремой Котельникова, непрерывный сигнал S(t) определён двумя отсчётами на временной оси:

t₀ = 0 мкс S(t₀) = 20 В

t₁ = 2 мкс S(t₁) = 15 В

Вычислить мгновенное значение исходного сигнала в момент времени t = 1 мкс (S(1 мкс)).

S_восст (t) = , где ω_д = 2πf_д – частота дискретизации

Δt = 2 мкс

f_д = 1/Δt; ω_д = (2π)/Δt = π/10^-6;

S_восст(t) = 20*(sin 10⁶π (t-0))/(10⁶πt) + 15*(sin 10⁶π (t-2*10^-6))/(10⁶π(t-2*10^-6)).