Спектр дискретизованного сигнала

Процедуру дискретизации (взятия выбора), осуществляемой в реальном уст-ве (например, с помощью электронного ключа), удобно рассматривать как умножение функции S(t) на вспомогательную периодическую последовательность y_T(t) достаточно коротких тактовых импульсов (с длительностью τ₀ и периодом T=Δt по теореме Котельникова)

Запишем периодическую функцию y_T(t) в виде ряда Фурье:

S_T(t) = S(t)∙y_T(t)

y_T(t) = U₀ [τ₀/T + .

Учитывая, что ω₁ = 2πt = 2π/T и (nω₁τ₀/2) = (nπτ₀/T), получаем:

y_T(t) = (U₀τ₀/T)[1+2 ;

S_T(t) = S(t)∙y_T(t) = ((U₀τ₀)/T)

(1/2) [S(ω-nω₁) + S(ω+nω₁)]

Первому слагаемому в правой части будет соответствовать спектральная плотность S(ω) исходного сигнала S(t), а второму слагаемому (каждому из произведений S(t)∙cos nω₁t) будет соответствовать спектральная плотность.

2012-03-14

Цифровой сигнал – сигнал, дискретный во времени и квантовый по уровню.

Учитывая, что sinc(0) = 1, получим:

Спектр дискретного сигнала S_T(ω) представляет собой последовательность спектров S(ω) исходного сигнала, сдвинутых относительно друг друга на частоту ω₁ = (2π)/T и убывающих по закону sinc((nπτ₀)/T).

Если шаг выборок (в соответствии с теоремой Котельникова) выбран из условия T = Δt < 1/(2f_m), то отдельные спектры (копии) не перекрываются и могут быть разделены с помощью фильтра. На практике частоту дискретизации f_д = 1/T = 1/Δt берут в несколько раз (3…5) больше, чем f_m для облегчения фильтрации и повышения точности воспроизведения.

Устремим τ₀ → 0. При уменьшении τ₀ до нуля лепестки спектра будут убывать медленнее, и при τ → 0 спектр приобретает строго периодическую структуру. Если при этом одновременно с уменьшением τ₀ увеличивать U₀ таким образом, что U­₀∙τ₀ = 1, то получим, что:

Тогда дискретизованный сигнал:

2012-03-17