Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов

Переход от комплексной записи к тригонометрической

В конце анализа после промежуточных вычислений:

 

Пусть задан непериодический сигнал S1(t) и его спектральная плотность:

 

При повторении импульса S1(t) с периодом Т1 мы получаем линейчатый (дискретный) спектр периодической последовательности.

 

Амплитуда n-ной гармоники
Коэффициент n-ной гармоники:

 

 

 

 

2012-02-27

Рассчитать спектральную плотность одиночного прямоугольного видеоимпульса.

 

S(ω) =

 

Чем компактнее во времени локализован S(t), тем шире будет его спектр. У сигнала, представляющего более гладкие функции, амплитудный спектр убывает быстрее, т.е. с ростом номеров гармоник их амплитуды стремятся к нулю, ряд сходится быстрее.

Спектры некоторых распространённых импульсов

Основные св-ва преобразования Фурье

Теорема линейности.К линейным операциям относят сложение, усиление и ослабление сигналов.

Пусть дана совокупность сигналов S1(t), S2(t), S3(t), Sn(t), обладающими спектральными плотностями S1(ω), S2(ω), S3(ω), Sn(ω), тогда суммарному (разностному) значению сигнала будет соответствовать сумма (разность) их спектральных плотностей:

S(t) = S1(t) + S2(t) + … + SN(t); S(ω) = S1(ω) + S2(ω) + … + SN(ω)

αi , где α – произвольный коэффициент.

Теорема запаздывания (сдвиг сигнала во времени). Пусть задан сигнал S1(t), который имеет спектральную плотность S1(ω). Задержим этот сигнал, tз – время задержки.

S2(t) = S1(t-tз) → определить S2(ω).

S2(ω) = .

Амплитудный спектр задержанного сигнала такой же, как спектр исходного сигнала, а фазовый спектр приобретает дополнительные слагаемые -jωtз.

Теорема смещения спектра сигнала по частоте. Если S1(ω) → S1(t). Полученная путём сдвига исходного спектра на величину Ω будет соответствовать сигналу:

 

Доказательство:

 

 

2012-03-03

Теорема об изменении масштаба времени. Пусть в исходном сигнале S1(t) → S1(ω), масштаб времени изменён таким образом, что аргумент t умножен на постоянный коэффициент b:

S2(t) = S1(b*t); S2(ω) = ?

· Если коэффициент b >1, то происходит сжатие исходного сигнала

· Если b < 1, то происходит растягивание сигнала

S2(ω) = ;

S2( => S2(ω) = (1/b)*S1*(ω/b).

Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b-раз сопровождается сжатием ширины его спектра и увеличением его амплитуды во столько же раз, и наоборот.

 

Теорема об умножении сигнала на гармоническую функцию. Пусть дан сигнал S1(t) → S1(ω). Умножим исходный сигнал на гармоническую функцию единичной амплитуды, частоты ω0 и нулевой начальной фазой.

S2(t) = S1(t)*cos ω0t; S2(ω) = ?

S2(ω) =

Распишем косинус по формуле Эйлера:

 

При умножении исходного сигнала на гармоническую функцию его спектр раздваивается на 2 слагаемых вдвое меньшего уровня и смещённых на частоту ±ω0.

 

Теорема о спектре произведения сигналов (теорема о свёртке спектра).Из математики известно, что скалярное произведение двух функций скалярное произведение двух функций f(t) и h(t) определяется формулой:

 

Пусть заданные сигналы f(t) и h(t) известны из спектральные плотности: f(t) → F(ω), h(t) → H(ω), тогда их произведение u(t) = f(t)*h(t) будет характеризовать спектральная плотность S(ω).

 

Выразим сигнал f(t) через спектральную плотность F(ω) обратным преобразованием Фурье с заменой переменной ω на τ:

 

 

Дифференцирование и интегрирование сигнала. Пусть задан сигнал S1(t) → S1(ω).

Продифференцируем: S2(t) = dS1(t)/dt, тогда S2(ω) = jωS1(ω).

Проинтегрируем: S2(t) = тогда S2(ω) = (1/(jω)) S1(ω).

Доп. задание:

1. Для каждого пример задаться начальными параметрами сигнала и рассчитать спектр, выполнить преобразование для прямоугольного видеоимпульса

2. Сдвиг по времени до конца марта

Сроки: минимальные – первые 5 человек, до конца марта. Каждая теорема по 2 балла.

Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье(самостоятельно)

Спектры некоторых неинтегрируемых функций

δ-функция и её спектр

Рассмотрим теоретическую модель бесконечно узкого (короткого) импульса с бесконечно большой амплитудой.

Площадь такого импульса равна 1. Такую функцию называют δ-функцией.

При сдвиге δ-функции по оси времени на некоторый интервал t0. Её можно записать:

 

Пусть имеется непрерывная функция S(t), тогда

 

Это соотношение характеризует фильтрующее (выделяющее) св-во δ-функции.

Спектральная плотность δ-функции: S(ω) =

 

Такое сложение называется когерентным.


 

2012-03-05

Основы корреляционного анализа

Корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Этот вид анализа пришёл в радиотехнику в конце 40-х – начале 50-х годов прошлого века. Он позволяет решать задачи обнаружения одного сигнала в другом, или на фоне помех. Корреляционная хар-ка даёт представление о скорости изменения сигнала во времени, а также о длительности сигнала без разложения на гармонические составляющие.

Обратимся к примеру упрощённой схемы импульсного радиолокатора, а конкретно к уст-ву для измерения времени задержки:

 

 

Уст-во сравнения работает сл. образом: сигнал на его выходе появляется лишь в случае, когда оба входных колебания являются копиями друг друга. Зная номер канала, в котором появится сигнал, можно определить τз и соответственно вычислить дальность до цели.

Подобное уст-во будет работать тем точнее, чем в большей степени разняться сигнал и его копия (смещённая во времени).