Фильтры низких частот

Урок 1. Реактивные фильтры второго порядка

Лекция 10. Резонансные цепи и реактивные фильтры

Как видно, фильтр составлен из индуктора, последовательного источнику с напряжением , и конденсатора C, параллельно которому подключена нагрузка – резистор R_н .

Найдем функцию передачи напряжения. При этом учтем, что фильтр вместе с нагрузкой представляет собой последовательную цепь из двухполюсников с сопротивлениями:

Тогда

Введем частоту , нормированную к частоте осцилляций .

При этом,

и

где

– есть затухание нагруженного фильтра, т.е. величина, обратная его добротности

С учетом новых обозначений

Поэтому АЧХ

Построим семейство графиков АЧХ при различных значениях параметра . Кроме того, на том же поле чертежа штрихами намечена идеальная характеристика, к которой необходимо стремиться.

Как видно, форма реализуемых АЧХ отличается от идеальной прямоугольной. Наиболее близкими к АЧХ идеального ФНЧ оказываются характеристики, соответствующие нагруженному затуханию или добротности .

При получается наилучшая реализуемая максимально плоская характеристика.

При имеем оптимальную «равноволновую» АЧХ, и.т.д.

Значит, для реализации реактивных ФНЧ с наилучшими АЧХ нужно так подбирать сопротивление нагрузки R_н , чтобы затухание или добротность фильтра были близки к единице.

Итак, реактивные ФНЧ есть цепи второго порядка с малой добротностью!

Зададимся удобными условиями пропускания фильтра, т.е. правилами, по которым будем искать границы полосы пропускания.

В теории реактивных фильтров за частоты среза часто принимают те значения, при которых АЧХ принимает значения, равные единице.

Из условия при получаем, что

и ненормированные частоты среза

Перейдем теперь к логарифмической АЧХ.

Как для RC-фильтров, рассмотрим значения ЛАЧХ в глубине полосы пропускания и задерживания.

В полосе пропускания, когда

Наоборот, в полосе задерживания, когда

Значит, опять можно аппроксимировать ЛАЧХ двумя лучами, сходящимися на оси частот в точке с координатой . Луч, соответствующий ЛАЧХ в полосе задерживания, в логарифмических координатах будет наклонной прямой. При этом скорость убывания значений ЛАЧХ в полосе задерживания, т.е. крутизна среза, составляет . Эти значения вдвое больше, чем аналогичные параметры RC ФНЧ. Это означает, что с ростом частоты в 10 раз значения АЧХ снижаются в 100 раз, а не в 10 раз, как было у RC ФНЧ. Значит избирательность реактивных фильтров выше, чем у фильтров типа RC. Этот выигрыш достигается из-за того, что в реактивных фильтрах на один реактивный элемент (т.е. индуктор) больше.

Соответствующий расчет показывает, что время задержки сигнала в полосе пропускания равно

Значит, время задержки тем больше, чем меньше ширина полосы пропускания . Такая же тенденция наблюдалась и у RC ФНЧ.

Операторная функция передачи реактивного ФНЧ

Полюса функции передачи есть решения уравнения

Они равны

Тогда ненормированные координаты полюсов

При и коэффициент затухания

Поэтому свободный режим рассматриваемых фильтров – колебательный, а собственные частоты, т.е. координаты полюсов, есть комплексно-сопряженные числа.

где – угловая частота свободных колебаний, и

Построим карту полюсов реактивного ФНЧ

Как видно, полюсы функции передачи располагаются симметрично относительно оси на левой полуокружности радиуса . Их число совпадает с порядком цепи, т.е. с числом реактивных элементов. В отличие от полюсов RC фильтра НЧ полюсы реактивного фильтра – комплексно-сопряженные числа.