Урок 13. Гармонический режим последовательной резистивно - индуктивно-ёмкостной цепи

Тема: Примеры расчета режима линейных цепей методом комплексных амплитуд

Лекция 7

Представим, что через цепь протекает ток силой

комплекс которого и комплексная амплитуда

Определим напряжение на всей цепи

имеющее комплекс и комплексную амплитуду

Согласно закону напряжений Кирхгофа

или

Заменим мгновенные значения процессов их комплексами и произведем необходимые действия над комплексами. Тогда:

или подробнее,

Сокращая обе части на оператор вращения и вынося за скобки общий сомножитель , получаем

В приведенной записи первое слагаемое в скобках нам известно. Это сопротивление резистора гармоническому току. Значит, остальные слагаемые тоже сопротивления. Соответственно, вся сумма в скобках тоже есть сопротивление. В отличие от ранее рассматривавшихся сопротивлений элементов она есть комплексная величина.

Назовем сумму в скобках комплексным сопротивлением цепи и обозначим как Z.

Итак, комплексное сопротивление

Введя понятие комплексного сопротивления цепи, приходим к следующим простым расчетным формулам:

или

Эти формулы отображают закон Ома в комплексной форме.

Применяя закон Ома, можем определить мгновенное значение искомого напряжения, выполняя п. 4 и п. 5 методики. Тогда

Чтобы получить окончательный результат расчета в наиболее удобном виде, исследуем свойства и формы записи комплексного сопротивления, а также его состав.

Начнем с рассмотрения второго слагаемого. Обозначим его как

и назовем комплексным индуктивным сопротивлением.

Модуль вводимого сопротивления является известным индуктивным сопротивлением

Поэтому

Представим это сопротивление в экспоненциальной форме записи.

Так как, согласно формулам Эйлера:

то

Значит, аргумент комплексного индуктивного сопротивления

Третье слагаемое

называют комплексным ёмкостным сопротивлением.

Представим его в различных формах записи:

где – емкостное сопротивление. Это модуль комплексного сопротивления .

С другой стороны

Значит, аргумент

Заметим, что аргументы вводимых комплексных индуктивного и ёмкостного сопротивлений являются упорядоченными разностями фаз между напряжением и силой тока элемента.

Рассмотрим также сумму комплексных сопротивлений реактивных элементов и . Тогда:

Назовем коэффициент при мнимой единице

реактивным сопротивлением цепи.

Реактивное сопротивление цепи есть действительная величина, которая может принимать различные знаки в зависимости от соотношения сопротивлений реактивных элементов. Введем модуль реактивного сопротивления (и комплексного реактивного сопротивления тоже!)

Тогда комплексное сопротивление

Определим возможные значения аргумента . Рассмотрим частные случаи:

1) , т.е. X > 0 и X = x.

Тогда и

Получился аргумент как у идеального индуктора. Значит, вся реактивная цепь в данном случае есть идеальный индуктор:

Такой случай называют индуктивной реакцией цепи.

2) , т.е. X < 0 и X =- x.

Тогда и

как для идеального конденсатора. Значит, вся реактивная цепь является конденсатором:

Это – ёмкостная реакция цепи.

3) , и X = x = 0. В этом случае

и рассматриваемая цепь оказывается резистором.

Такой режим называют резонансом напряжений.