Включение в последовательную резистивно-емкостную цепь источника постоянного напряжения

Представим следующую схему замещения цепи:

Пусть в цепи имеются последовательно соединенные резистор R и конденсатор С. Конденсатор заряжен в указанной полярности.

Представим, что в момент t = 0 к цепи подключается источник с постоянным напряжением Е. Напряжение на заряженном конденсаторе в этот момент примем равным U.

Исследуем переходный режим. Найдем мгновенные значения емкостного напряжения и других процессов в цепи.

По закону напряжения Кирхгофа для всех моментов времени после коммутации

при t ³ 0.

Выразим напряжение резистора u_r через напряжение конденсатора. При этом учтем, что через резистор протекает емкостный ток вида:

Тогда получаем уравнение:

или

Получилось, как и ожидали, линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Его коэффициенты:

собственная частота

постоянная времени

Определим значения остальных постоянных.

Начальное значение емкостного напряжения задано и равна U.

Так как при подключении источника постоянного напряжения конденсатор подзаряжается, то его напряжение неизбежно сравнивается по модулю и знаку (направлению) с напряжением источника Е, т.е. U_су = Е.

При этом, в цепи окажется два источника с одинаковыми и противоположными напряжениями, отчего ток в цепи исчезнет, и мы перейдем в установившейся режим.

С учетом значений коэффициентов:

Тогда

и

Построим графики переходных процессов. Их называют временными диаграммами.

Рассмотрим случай, когда U < E.

Представленные графики иллюстрируют процесс подзаряда конденсатора от напряжения U до напряжения Е.

Как видно из графиков, параметр t, имеющий размерность времени есть точка, в которой сходятся все касательные к процессам для начального момента времени.

Этот параметр, т.е. постоянная времени t, есть удобная величина для оценки времени практического существования переходного режима. Обычно это время определяют как:

t_пер = (3…5) t.

При этом учитывают, что за промежуток времени 3t всякий убывающий процесс достигает значения 5% от исходного уровня, а при Dt=5t это значение – 0,7%. При этом возрастающие процессы достигают уровня 95% … 99,3%. Т.е. все процессы практически устанавливаются.