Понятие функции

Интегрирование дробно-рациональных функций

Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

С помощью формулы Ньютона-Лейбница нетрудно доказать следующие утверждения.

Теорема 3.Пусть функция непрерывна на отрезке а функция непрерывно-дифференцируема на отрезке таком, что причем Тогда имеет место формула замены переменных

Теорема 4.Пусть функции непрерывно-дифференцируемы на отрезке Тогда имеет место формула интегрирования по частям

[1] Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.

[2] Функция называется непрерывно дифференцируемой на множестве если она и ее производная непрерывны на

[3] На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и

Пусть даны два множества и

Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент по закону При этом называется аргументом функции а значением этой функции (при указаннном значении аргумента ). Множество называется областью определения функции (обозначение: ), а множество называется множеством значений этой функции.

Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента указывается соответствующий ) и б) аналитически (формулой; например ). При аналитическом задании функции в качестве области определения обычно берут естественную область определения, т.е. множество { выражение имеет смысл }. Например, Будет также использоваться обозначение для множества всех значений когда пробегает подмножество