ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА
Получив методом наименьших квадратов формулу, аппроксимирующую с наибольшей точностью экспериментальные данные, мы можем оценить разброс этих данных относительно найденной кривой:
Но величина z получена в результате определенного комплекса измерений и, следовательно, имеет вполне определенную погрешность . Методы оценки последней рассматривались в первом разделе.
Сопоставление погрешностей и имеет принципиальное значение при анализе результатов эксперимента. Если , то аппроксимационная формула подобрана правильно. Причем не коэффициенты в формуле (они определены с минимальной погрешностью), а именно сам вид формулы. Если этот вид получен теоретически, то результаты эксперимента подтверждают справедливость теории.
При экспериментальные данные не соответствуют теоретическим соображениям. И если результаты эксперимента не искажены систематической погрешностью, то в этом случае отклонение опытных данных от теории говорит о новом явлении.
Важную роль при анализе результатов эксперимента и особенно при подборе аппроксимирующих формул играет выбор масштаба шкал для графика. Используются как равномерные, так и неравномерные (функциональные) шкалы или сетки.
Равномерной называется шкала, на всем протяжении которой расстояния между двумя делениями, соответствующими изменению переменной на одну и ту же величину, равны.
При графическом изображении функции в прямоугольных координатах масштабы равномерных шкал по осям координат обычно принимают равными. Если вследствие значительной разницы в пределах изменения переменных или ограниченности размеров чертежа такой возможности нет, то масштабы выбирают так, чтобы график получился компактным, а построенные на нем линии — не очень крутыми или пологими. В противном случае точность отсчета значительно уменьшается.
Необходимо помнить, что применение различных масштабов даже равномерных шкал искажает вид кривой. Это особенно важно при подборе аппроксимирующих формул. Например, на рис. 2.3,а
изображена Окружность при одинаковом масштабе шкал, а на рис. 2.3,б та же окружность, но при увеличении цены деления по оси ординат в два раза.
Рисунок 2.3 Изображение окружности в масштабах а – в равномерном; б – в неравномерном
Часто, особенно при подборе аппроксимационных формул, используются неравномерные шкалы. Это такая шкала, на всем протяжении которой расстояния между двумя делениями, соответствующими изменению переменной на одну и ту же величину, не равны, а изменяются, подчиняясь определенному математическому закону.
Примером наиболее часто применяемых неравномерных шкал являются: логарифмическая шкала, шкалы квадратов и кубов чисел, шкалы корней квадратных из чисел, шкала обратных чисел. Неравномерная шкала может быть построена для любой функции одной независимой переменной.
Построение графиков с применением неравномерных шкал представляет собой замену переменных в заданной функции. Если построим, например, функцию в прямоугольных координатах с равномерными шкалами по осям, то получим параболу (рис. 2.4,а). Прологарифмируем это уравнение:
Если теперь по оси ординат отложить , а по оси абсцисс (обе шкалы равномерные), то получим прямую (рис. 2.4,6). Таким образом, путем замены переменных и на и мы спрямим параболу. Но такое построение довольно сложно, так как требует вычисления логарифмов переменных и для всех точек. Упростить эту операцию можно, заменив на осях координат числовые значения и на значения переменных и , оставив само построение неизменным (рис. 2.4,в). Например, вместо записываем , вместо записываем и т. д. Получаем логарифмическую шкалу, в которой парабола выглядит прямой.
Аналогичную замену можно провести и для других случаев. Например, если можно ожидать, что результаты эксперимента описываются экспонентой вида
то следует нанести опытные данные на полулогарифмическую шкалу. Действительно, прологарифмируем последнее выражение:
или, введя обозначения
То есть, если по оси абсцисс шкала равномерная, а по оси ординат логарифмическая, то экспериментальные данные должны лечь на прямую. Найдя методом наименьших квадратов коэффициенты Аи В, нетрудно определить величины и .
Применяя различные неравномерные (функциональные) шкалы при построении графиков по опытным данным, в некоторых случаях оказывается возможным выпрямить кривые, которые были получены при построении этих данных на графиках с равномерными шкалами. В этом случае определение вида искомой формулы не представляет затруднений, так как это уравнение прямой, но с учетом замены переменных. Если спрямления кривых получить не удалось, то остается лишь метод подбора различных видов формул на основании характера кривых, полученных при построении опытных данных с применением на осях координат разных шкал.
Рисунок 2.4 График уравнения ; а – в равномерных шкалах; б – путём откладывания по осям координат значений и ; в – в логарифмических шкалах