Методи розв’язання задач теплопровідності.

Регулярний тепловий режим та його математичний опис. Темп охолодження та його визначення. Теореми Г.М. Кондрат’єва. Коефіцієнт нерівномірності розподілу температури. Коефіцієнт форми. Практичне застосування теорії регулярного режиму.

Нестаціонарні процеси теплообміну. Нагрівання (охолодження) тіл у середовищі з постійною температурою. Постановка задачі. Безрозмірна форма розв’язання задачі. Критерії Біо та Фур’є. Аналітичне розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності для плоскої стінки. Графічне розв’язання задачі. Аналіз рішення. Кількість теплоти процесу нагрівання (охолодження). Визначення температури тіл кінцевих розмірів.

Л е к ц і я 2.4. Теплопровідність при нестаціонарному режимі.

Джерела інформації: [1], с.339-347; [2], с.177-195; [8], с.220-244.

Нестаціонарні процеси теплообміну. Нагрівання (охолодження) тіл у середовищі з постійною температурою. Постановка задачі. Безрозмірна форма розв’язання задачі. Критерії Біо та Фур’є. В природі і техніці найчастіше мають місце нестаціонарні процеси теплообміну. Теплопровідність при нестаціонарному режимі зустрічаються при нагріванні або охолодженні різних об'єктів, при переходах з одного теплового режиму на інший режим. Нестаціонарні режими теплопровідності можуть бути перехідними або періодичними. Перехідні процеси характеризуються переходом від одного стаціонарного режиму до іншого стаціонарного режиму. Прикладом перехідних процесів може служити нагрівання (охолодження) тіл у газовому чи рідинному середовищі з постійною температурою. До перехідного процесу відноситься і розігрів опалювальних приладів до стаціонарного режиму. Періодичними режимами називають такі, при яких температура тіла коливається в часі за визначеним законом. Як приклад можна розглядати добову зміну температури зовнішнього повітря, що впливає на температуру конструкцій будинків. В інженерній практиці перехідні процеси зустрічаються частіше і тому ці процеси будуть вивчатися надалі. Формулювання задачі нестаціонарної теплопровідності здійснюють на основі математичної моделі. Математичні моделі явищ теплопровідності включають диференціальні рівняння основних досліджуваних процесів і рівняння для крайових (граничних і початкових) умов.

Методом рішення називають сукупність прийомів, які дозволяють одержати, виходячи з заданої математичної моделі, чисельні дані, що описують шукане температурне поле. Розв'язанням називають процес, заснований на відповідному методі, у результаті якого від математичної моделі можна перейти до шуканих значень температур.

Математичні моделі можуть бути лінійними і нелінійними. Лінійним називають рівняння, яке лінійне щодо невідомої функції (у даному випадку – температури) і її частинних похідних. Так, у лінійних рівняннях фізичні параметри, характерні для процесу теплопровідності (теплопровідність, теплоємність, температуропровідність) приймаються постійними, незалежними від шуканої функції (температури). Математична модель стає нелінійною, коли одне з її рівнянь нелінійне. Таким може бути рівняння теплопровідності, або рівняння, що входять у граничні умови. Одне з часто використовуваних способів розв'язання нелінійних рівнянь зводиться до зведення їх частково або цілком до лінійних, тобто до використання методу лінеаризації.

При розв'язанні математичної моделі в залежності від того, які величини приймаються заданими і які шуканими, досліджувані задачі можуть бути наступними. Мається математична модель і відомі значення фізичних величин, що входять у вихідне рівняння й у крайові умови. Визначення температурного поля ґрунтується на розв'язанні прямої задачі. Відома математична модель, а також температурне поле і коефіцієнти, що входять в основне рівняння. Необхідно визначити граничні умови. У такому випадку використовують методи рішення зворотних задач. Мається математична модель досліджуваного процесу теплопровідності, а також відомо температурне поле. Коефіцієнти, що входять в основне рівняння, визначаються розв'язанням інверсної задачі. У літературі зворотні й інверсні задачі найчастіше називають одним терміном – зворотними задачами.

На рис. 5.1 показані криві зміни температури тіла на його поверхні t_ст та в центрі t_ц при охолодженні у рідині з температурою t_р . Спочатку знижується температура на поверхні тіла, тоді як температура в його центрі якийсь час залишається незмінною. Наприкінці процесу температура в усіх точках тіла наближається до температури навколишнього середовища.

Рис. 5.1. Зміна температури тіла при охолодженні

Більшість задач нестаціонарної теплопровідності пов‘язана з визначенням температурного поля тіла і повної кількості теплоти, відданої або одержаної тілом за певний проміжок часу. В інших задачах необхідно знайти тривалість процесу, після закінчення якого температура тіла прийме наперед задане значення. Вирішення цих задач можна одержати аналітичним шляхом, тобто шляхом розв’язання диференціального рівняння теплопровідності з урахуванням крайових умов. Але таким шляхом можна розв’язати порівняно прості задачі. Для вирішення складніших задач застосовуються наближені методи.

Розглянемо умови подібності температурних полів при нестаціонарній теплопровідності. Диференціальне рівняння теплопровідності (4.1) в твердому тілі у випадку відсутності внутрішніх джерел теплоти має вид

. (5.1)

Виходячи з граничних умов третього роду, запишемо

, (5.2)

де – коефіцієнт теплопровідності тіла; – температурний градієнт на поверхні тіла.

У разі рівномірного температурного поля початкові умови такі: при . Позначимо надлишкову температуру в будь-якій точці тіла через . Тоді для точок, розташованих на поверхні і в центрі тіла, запишемо відповідно і . У початковий момент часу . Безрозмірна надлишкова температура . Безрозмірні координати точок: , де – характерний розмір тіла.

Приведемо рівняння (5.1) до безрозмірного виду. Записавши , , , і врахувавши, що , отримаємо

. (5.3)

Аналогічно попередньому

; ; . (5.4)

Підставивши вирази (5.3) і (5.4) в рівняння (5.1), отримаємо

. (5.5)

Отже для схожих точок тіла, у яких

В результаті спільного розв’язання рівнянь (5.1) і (5.2) з урахуванням умов однозначності, записаних у безрозмірному виді, отримаємо узагальнене рівняння для температурного поля

, (5.6)

вид якого залежить від форми тіла.

Аналітичне розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності для плоскої стінки. Графічне розв’язання задачі. Аналіз рішення.Розглянемо аналітичне розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності на прикладі охолодження (нагрівання) необмеженій стінки (пластини) за граничних умов третього роду (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Охолодження необмеженої пластини

У початковий момент часу () температура в пластині розподілена рівномірно і дорівнює . Задана температура навколишнього середовища < . Теплообмін з обох сторін пластини відбувається при постійному заданому коефіцієнті тепловіддачі . Задані також постійні фізичні параметри пластини . Вважаємо, що розміри пластини уздовж осей Оу і Оz настільки великі, що теплообміном з торців можна знехтувати. За таких умов температурне поле в пластині буде симетричним, тому її товщину зручно позначити 2. Диференціальне рівняння теплопровідності (5.1) для одновимірної задачі з урахуванням прийнятого раніше позначення надлишкової температури запишемо у виді

. (5.7)

Умови однозначності наступні. Початкові умови: при

; (5.8)

граничні умови: при

, (5.9)

де ;

умови симетрії температурного поля: при

. (5.10)

Для знаходження функції розподілу температури в пластині скористаємося методом розділення змінних, відповідно до якого рішення рівняння (6.7) відшукується у вигляді добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від просторової координати, а інша – від часу:

. (5.11)

Підставивши останній вираз в диференціальне рівняння (5.7) і розділивши змінні, одержимо

. (5.12)

Ліва частина цього рівняння залежить тільки від , права – від . Рівність (5.12) можлива у випадку, якщо обидві його частини дорівнюють постійній величині, яку позначимо . Тоді ця рівність прийме вид

. (5.13)

На підставі останньої рівності складемо два диференціальні рівняння:

; ,

рішення яких відомі:

Знак «мінус» при постійній вибраний з наступних міркувань: при температурна функція , а отже, також прямує до нуля, тобто забезпечується загасання процесу. Підставивши вирази і в (5.11), запишемо частинний розв’язок

. (5.14)

Вираз (5.14) задовольняє початковому диференціальному рівнянню (5.7) при будь-яких значеннях постійних , , і . Щоб вираз (5.14) був рішенням даної задачі, його слід підпорядкувати початковим і граничним умовам. З урахуванням умов симетрії (5.10) знаходимо

або

звідки = 0. Позначивши , вираз (5.14) перепишемо у вигляді

. (5.15)

Цей вираз задовольняє початковому рівнянню (5.7) і умовам симетрії при .

Підставивши вираз (5.15) в рівняння (5.9), отримаємо наступне рівняння:

,

після нескладних перетворень якого прийдемо до тригонометричного рівняння

. (5.16)

Розв’язання рівняння (5.16) дають точки перетину прямої і котангенсоїди (рис. 5.3), де і . З рисунка витікає, що рівняння (5.16) має безліч коренів , які залежать від порядкового номера n і числа Bi.

Кожному значенню відповідає частинне рішення, що задовольняє диференціальному рівнянню (5.7). Сума цих частинних рішень дає загальний розв’язок

,

де постійна , може бути знайдена з урахуванням початкових умов (5.8).

Рис. 5.3. До розв’язання рівняння для визначення

Остаточне рівняння для температурного поля в безрозмірній формі запишемо у вигляді [1]

(5.17)

де ; ; ;

. (5.18)

Аналіз рівняння (5.17) показує, що при достатньо великому проміжку часу, коли , ряд швидко збігається і може бути залишений тільки його перший член. В цьому випадку

. (5.19)

Використання рівняння (5.17) на практиці пов’язане з необхідністю виконання трудомістких розрахунків. Оскільки величина є функцією числа , з рівнянь (5.17) і (5.18) витікає, що при заданих координатах шукана безрозмірна температура залежить тільки від чисел і , тобто

. (5.20)

Для практичних розрахунків побудовані графіки цієї функції при і за допомогою яких можна визначити температури у середині і на зовнішній поверхні пластини (рис. 5.4) після закінчення заданого часу .

З метою приблизної побудови кривих розподілу температур в пластині розглянемо їх властивості.Проведемо дотичні до температурної кривої в точках (див. рис. 5.2). Вони проходять через дві направляючі точки А, які розташовані на відстані від поверхні пластини. Знайдемо значення . Для цього помножимо (5.9) на і отримаємо

.

З іншого боку,

,

звідки

. (5.21)

З останньої рівності витікає, що відстань точки А від поверхні визначається заданими умовами однозначності і не залежить від часу. Отже, дотичні до всіх температурних кривих в точках за незмінних граничних умов для будь-якого проміжку часу завжди проходитимуть через направляючі точки А. Це дозволяє побудувати графіки температурних кривих в пластині за знайденими значеннями температур в точках і .Чим менше число Bi, тим далі відстоїть точка А від поверхні пластини і тим менше відмінність між температурою поверхні і внутрішніх точок тіла.

Рис. 5.4. Графіки до визначення температури на поверхні пластини

Розглянемо три випадки:

1. При (практично ) направляюча точка А знаходиться на поверхні тіла, температура якої стає рівній температурі навколишнього середовища. Це означає, що точка перехрещення дотичних до температурних кривих знаходиться на поверхні пластини (рис. 5.5, б). З виразу для числа виходить: при заданих фізичних параметрах і товщині пластини, коли , тобто коли має місце велика інтенсивність відведення теплоти від поверхні. Інтенсивність процесу при цьому визначається тільки процесом теплопровідності в тілі і залежить як від фізичних властивостей, так і від розмірів тіла (внутрішня задача). При цьому (див. рис. 5.3). Як було зазначено, при ≥ 0,3 ряд (5.17) швидко збігається і помилка не перевищує 1 %, якщо відкинути всі члени, за винятком першого. При цих умовах , і для точки на осі пластини () рівняння (5.19) прийме вид

. (5.22)

Розв’язавши останнє рівняння відносно часу , отримаємо вираз, за допомогою якого можна визначити час, необхідний для прогрівання середини пластини до заданої температури,

. (5.23)

2) При (практично при ) направляюча точка розташовується на нескінченно великій відстані від поверхні, а розподіл температур в тілі має вид прямих, паралельних осі абсцис, тобто температура за товщиною стінки розподілена рівномірно (див. рис. 5.5, а). З виразу видно, що малі значення числа можуть мати місце при малих розмірах товщини пластини, при великих значеннях коефіцієнта теплопровідності і малих значеннях коефіцієнта тепловіддачі . У цьому випадку термічний опір тепловіддачі від гріючого середовища до поверхні тіла значно більше термічного опору перенесенню теплоти теплопровідністю усередині тіла від його поверхні до середини , тобто << . Такі тіла називають термічно тонкими. В кожний момент часу температура усередині такого тіла встигає вирівнятися за рахунок інтенсивного перенесення теплоти теплопровідністю. Таким чином значення температури тіла залежить тільки від часу і не залежить від координат. Процес нагріву та охолодження тіла в цьому випадку визначається інтенсивністю тепловіддачі на поверхні тіла, тобто зовнішніми умовами тепловіддачі, а рівняння (5.19) приймає вид

. (5.24)

Рис. 5.5. Розподіл температури у плоскій стінці при її охолодженні в умовах:

а - ; б – ; в – ;

3) У випадку, якщо температурні криві у будь-який момент часу мають вид, як показано на рис. 5.5, в. У цьому випадку інтенсивність процесу охолодження (нагрівання) визначається як внутрішнім, так і зовнішнім термічним опором.

Кількість теплоти процесу нагрівання (охолодження).Кількість одержаної або відданої стінкою теплоти також визначається числами Fo і Bi. Позначимо через Q' кількість втраченої (одержаної) теплоти при (коли температура тіла стане рівною температурі рідини ), а через – теплоту, віддану за проміжок часу . Тоді для стінки об'ємом V з густиною матеріалу і теплоємністю можна записати

;

,

де – середня температура стінки після закінчення часу , а .

Поділивши другу рівність на першу, отримаємо

, (5.25)

де – середня безрозмірна температура по товщині пластини.

У кожен момент часу температурне поле стінки визначається числами Біо і Фур’є, тому і середня температура стінки залежатиме від цих чисел. Отже, . Графіки цієї функції є, але часто замість неї наводять залежність [1].

Розв’язання задач для нескінченно довгого циліндра і кулі, пов’язаних з визначенням температурного поля і кількості переданої теплоти в нестаціонарних умовах теплообміну, а також графіки, що полегшують використання одержаних розв’язків, наведені в [1,2]. Характерним геометричним розміром цих тіл є їх радіус.

Визначення температури тіл кінцевих розмірів.Результати розв’язання задач нестаціонарної теплопровідності можуть бути використані при розрахунку температури тіл з дво- і тривимірними температурними полями (тіл кінцевих розмірів). Паралелепіпеди і циліндри кінцевих розмірів можна розглядати як тіла, утворені перетином відповідно трьох взаємно перпендикулярних необмежених пластин кінцевої товщини, циліндра і пластини.

Теоретично доведено, що безрозмірна температура таких тіл визначається добутком безрозмірних температур тіл необмежених розмірів, в результаті перетину яких утворилося дане тіло. Так, для паралелепіпеда (рис. 5.6) безрозмірна температура в точці з координатами може бути знайдена як добуток температур трьох необмежених пластин:

, (5.26)

де множники , , визначаються за формулою (5.20).

Наприклад, безрозмірну температуру в точці а на рис. 5.6 знаходять таким чином: , де , – безрозмірні температури в центрі необмежених пластин товщиною ; – безрозмірна температура на поверхні необмеженої пластини товщиною .

Рис. 5.6. До визначення температури паралелепіпеда

Для нескінченного прямокутного бруса безрозмірна температура в точці з координатами визначається добутком температур двох пластин (), для циліндра кінцевої довжини – відповідно добутком безрозмірних температур нескінченного циліндра і необмеженої пластини.

Регулярний тепловий режим та його математичний опис. Аналіз рівняння (5.17) показує, що при невеликій тривалості процесу теплообміну температурне поле визначається не тільки першими, але і подальшими членами ряду, які в основному характеризують початковий розподіл температури. Це так звана невпорядкована стадія процесу нагрівання або охолодження тіла.Після деякого проміжку часу , який відповідає , усі члени ряду стають знехтувано малими в порівнянні з першим, а це означає, що температурне поле перестає залежати від початкового розподілу температур і описується рівнянням (5.19), яке можна переписати у виді

, (5.27)

де – постійний коефіцієнт; – функція координат і числа Біо. Величина називається темпом охолодження (нагрівання) тіла.

Нестаціонарний процес теплопровідності, який описується рівнянням (5.27), називається регулярним тепловим режимом. З урахуванням рівності після логарифмування (5.27) маємо

. (5.28)

З рівняння (5.28) витікає, що натуральний логарифм надлишкової температури будь-якої точки тіла змінюється в часі за лінійним законом. Зміна температури в точках а і б при охолодженні тіла показана на рис. 5.7, де виділені дві стадії: перша стадія, яка характеризується великим впливом початкового розподілу температури (невпорядкований режим), і друга стадія – регулярний режим, яка описується рівнянням (5.27) або (5.28).

Рис. 5.7. Залежність при охолодженні тіла

Темп охолодження залишається постійним на ділянці регулярного режиму. Величина не залежить від координат і часу і визначається фізичними і геометричними властивостями тіла, а також умовами охолодження. Темп охолодження, як це виходить з рівняння (5.28) після його диференціювання у часі,

є відносна швидкість зміни температури у часі і може бути визначений як тангенс кута нахилу температурної кривої (див. рис. 5.7)

. (5.29)

Розрахункові точки 1 і 2 беруться на лінійній ділянці графіка у області регулярного режиму.

Темп охолодження залежить від коефіцієнта тепловіддачі. Ця залежність може бути знайдена з рівняння теплового балансу, бо зменшення внутрішньої енергії тіла при охолодженні зумовлено тепловіддачею до навколишнього середовища. Таким чином, ураховуючи сталість температури оточуючого середовища , можна записати

, (5.30)

де– середня за об’ємом тіла надлишкова температура, ^оС; – середня надлишкова температура поверхні тіла у даний момент часу, ^оС; – густина тіла, кг/м³; – питома теплоємність тіла, Дж / (кг·К); – об’єм тіла, м³; – середній в процесі охолодження коефіцієнт тепловіддачі, Вт / (м²·К); – поверхня тіла, м²; – час, с.

Якщо розділити рівняння (5.30) на , отримаємо

. (5.31)

Ліва частина цього виразу дорівнює темпу охолодження , і, якщо відношення позначити , (5.31) можна записати:

, (5.32)

де – коефіцієнт нерівномірності розподілу температури в тілі.

З (5.32) витікає, що темп охолодження пропорційний коефіцієнту тепловіддачі, поверхні тіла і обернено пропорційний повній теплоємності тіла (перша теорема Г. М. Кондратьєва).

Значення коефіцієнта лежить у межах , визначається умовами охолодження на поверхні тіла і є функцією . Визначення цього коефіцієнта у ряді випадків викликає труднощі, тому при постановці експерименту намагаються забезпечити умови, при яких . Ці умови мають місце, коли термічний опір тіла /малий у порівнянні з термічним опором тепловіддачі 1/. У цьому випадку весь термічний перепад зосереджений у примежовому шарі рідини, що оточує тіло, а температура тіла вирівнюється , тобто і . Умови, при яких , здійснюються при (практично при ), а отже у відповідності до (2.9), темп охолодження пропорційний коефіцієнту тепловіддачі

, (5.33)

де – сталий коефіцієнт, який залежить від матеріалу і форми тіла.

Залежність темпу охолодження від коефіцієнта тепловіддачі має асимптотичний характер, бо із зростанням значення зростає і критерій ,що у свою чергу призводить до зменшення . У граничному випадку при , і наближається до кінцевої величини (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Залежність темпу охолодження від коефіцієнта тепловіддачі

Залежність (5.33) дозволяє використати закономірності регулярного режиму першого роду для експериментального визначення коефіцієнта тепловіддачі [4, 5]. Теорія регулярного режиму дозволяє одержати простий і достатньо точний метод експериментального визначення теплофізичних властивостей тіл. Можна показати, що при темп охолодження стає прямо пропорційним коефіцієнту температуропроводності тіла (друга теорема Г. М. Кондратьєва): , (5.34) де – коефіцієнт форми, який залежить лише від конфігурації і розмірів тіла.

Так, для паралелепіпеда із сторонами

. (5.35)

Таким чином, задача експериментального визначення коефіцієнта температуропроводності зводиться до визначення темпу охолодження. За умов, близьких до , вимірюють зміну надлишкової температури у часі в одній точці тіла і будують залежність (див. рис. 5.7). Визначивши за (5.29) темп охолодження m і обчисливши коефіцієнт форми тіла , за формулою (5.34) можна розрахувати коефіцієнт температуропровідності матеріалу, з якого виконане досліджуване тіло.

Методи розв’язання задач теплопровідності.Для рішення задач нестаціонарної теплопровідності використовують аналітичні, чисельні й аналогові методи.

Аналітичні методи дозволяють знайти розв'язок у вигляді формули, розкривши яку для кожного значення аргументу, можна одержати значення функції. У даному випадку результат розв’язку безперервний. Чисельні методи дозволяють одержати для деяких заданих чисельних значень аргументу чисельні значення функції, тобто рішення одержуємо в деяких точках простору, дискретно. При чисельному методі вихідні диференціальні рівняння або інтегрально-диференціальні переводять у систему алгебраїчних. Точні аналітичні рішення для нелінійних задач існують лише для деяких задач і тому фахівці віддають перевагу чисельним методам.

Метод аналогії дозволяє установити розподіл температури в досліджуваному об’єкті по розподілу іншої (гідродинамічної або електричної), легко вимірюваної величини в моделі об’єкта. У методах аналогії математичний опис розподілу температури аналогічний, а в безрозмірній формі тотожний.

Метод поділу змінних. Метод полягає в тому, що частинний розв’язок шукається у вигляді добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від часу , а інша залежить тільки від координат:

,

де С – довільна постійна.

Знаходиться сукупність частинних розв’язків , що задовольняють рівнянню і граничним умовам, а потім за принципом накладення отримують ряд цих рішень:

. (5.36)

Коефіцієнти у розв’язку (5.36) визначають з початкової умови.

Операційний метод, заснований на інтегральному перетворенні Лапласа, суть якого полягає в тому, що вивчається не сама функція, а її видозміна (зображення). Пошук оригіналу виконується за зворотним перетворенням. Найчастіше зворотне перетворення можна здійснити, не виконуючи повторне інтегрування, а скориставшись відповідними таблицями. Перетворення Лапласа приводить до диференціальних рівнянь, розв’язок яких не складно одержати стандартними методами, викладеними в курсах з теорії звичайних диференціальних рівнянь.

Метод інтегральних перетворень відрізняється тим, що вибір інтегрального перетворення здійснюється відповідно до диференціального рівняння і граничних умов, тобто з урахуванням геометричної форми тіла і закону його взаємодії з навколишнім середовищем. Ядром перетворення є функція Гріна для цієї задачі.

Серед інтегральних методів варто виділити метод кінцевих інтегральних перетворень. Цей метод, будучи узагальненим методом поділу змінних, не приводить до труднощів, пов’язаних зі зворотним переходом при застосуванні перетворення Лапласа.

Метод кінцевих інтегральних перетворень приводить неоднорідну крайову задачу теплопровідності в області зображень у випадку одношарових стінок до звичайного диференціального рівняння першого порядку, рішення якого просте, а у випадку багатошарових стінок – k(n - 1)-мірній векторній системі (2 n + 1) інтегральних рівнянь Вольтера другого роду, рішення яких відомо.

Чисельне рішення задач теплопровідності засноване на методі кінцевих різниць або, як його ще називають, методі сіток.

Метод кінцевих різниць полягає в тому, що похідні диференціального рівняння заміняються їхнім наближеним значенням, вираженим через різниці значень функції в окремих дискретних точках, або вузлах сітки. У результаті диференціальні рівняння заміняються еквівалентними співвідношеннями в кінцевих різницях, розв'язок яких зводиться до алгебраїчних операцій.

У нестаціонарних процесах теплопровідності в кожній вузловій точці внаслідок зміни температури відбувається зміна внутрішньої енергії. Зміна внутрішньої енергії залежить не тільки від зміни температури у вузловій точці в часі, але також від теплоємності даного елементарного об’єму і густини речовини. Такий підхід до обчислення температури зветься методом наближеної чисельної ітерації. Метод ітерації полягає у виконанні деякої послідовності наближень, що сходиться і будується рекурентно, тобто кожне нове наближення обчислюється, виходячи з попередніх. Процес складання ітерації називають інтегруванням. З появою ЕОМ можливості чисельного методу рішення диференціальних рівнянь значно розширилися.

Метод узагальнених змінних заснований на теорії подібності. У досліджуваних фізичних явищах вплив окремих величин, як правило, виявляється не окремо, а спільно. Тому доцільно аналізувати не окремі величини, а їхнє комплексне сполучення, що має визначений фізичний зміст. Методом теорії подібності на основі аналізу диференціальних рівнянь і граничних умов одержують зазначені безрозмірні комплекси, так звані критерії подібності, що є узагальненими змінними. У комплексних величинах більш чітко виступають внутрішні зв’язки, що характеризують процес. Крім того, при цьому зменшується число перемінних. Критерії подібності прийнято позначати першими двома латинськими літерами прізвища вченого, який зробив внесок у даній галузі науки. Процес теплопровідності характеризується критеріями Ві (Біо) і Fо (Фур’є).

Критерій Біо дорівнює:

де – коефіцієнт тепловіддачі; – коефіцієнт теплопровідності; – характерний розмір (наприклад, товщина пластини).

Безрозмірний комплекс Ві визначає не одне конкретне явище, а безліч подібних явищ. Критерій Ві, що грає важливу роль у теорії температурного поля твердого тіла, являє собою відношення термічного опору стінки до термічного опору передачі тепла на поверхні тіла. При термічний опірнескінченно малий і температурне поле тіла визначається тільки інтенсивністю конвективного теплообміну. При зовнішній термічний опір нескінченно малий і не впливає на ступінь і швидкість нагрівання (охолодження) тіла.

Критерій Фур’є:

де – коефіцієнт температуропровідності.

Критеріальне рівняння процесу теплопровідності має вигляд:

, (5.37)

де – надлишкова поточна температуру в будь-якій точці тіла, відлічувану від температури навколишнього середовища як від нуля; – надлишкова початкова температура тіла; – безрозмірні координати (безрозмірні змінні параметричного типу).

Критеріальне рівняння (5.37) справедливе для всіх подібних процесів теплопровідності.

Моделюванням називають метод експериментального вивчення явища на моделях замість того, щоб проводити експеримент на натуральному об’єкті. Експериментальне дослідження на моделях вимагає менше коштів, а в деяких випадках моделювання є єдиним можливим засобом проведення експериментів.

Розрізняють фізичне й аналогове моделювання. При фізичному моделюванні відповідні величини натури і моделі мають однакову фізичну природу. Фізичне моделювання зберігає особливості проведення експерименту на реальному об’єкті, але значно полегшує одержання необхідних результатів, тому що для моделі вибираються найбільш зручні діапазони зміни фізичних величин, геометричні розміри тощо.

Аналогове моделювання засноване на заміщенні досліджуваного фізичного процесу подібним йому процесом іншої фізичної природи. У той час як фізичне моделювання базується на тому, що явища в натурі і моделі мають однакову фізичну природу і однаковий математичний опис, метод аналогії заснований тільки на однаковому математичному описі. Найбільше поширення в даний час одержали моделі, побудовані на гідравлічній і електричній аналогії процесів.

Гідродинамічна аналогія заснована на тотожності математичних моделей у формальному сенсі, що описують, з одного боку, потенціальний рух ідеальної рідини в невихровому потоці, а з іншого, процес теплопровідності в системі без джерел теплоти. Більше поширення одержали методи, засновані на електричній аналогії.

Запишемо рівняння нестаціонарної теплопровідності:

при 0 < x < і > 0, де – товщина пластини.

Аналогічно записується диференціальне рівняння електричних напруг:

при 0 < ≤ і = 0,

де – електрична напруга; – час; – омічний опір електричної мережі; – електрична ємність; індекс е означає, що зазначені величини відносяться до електричної системи.

У залежності від структури моделюючого середовища моделі-аналоги розділяють на моделі – суцільні середовища, моделі-сітки і комбіновані моделі. На відміну від моделей суцільних середовищ, де кожна точка моделі відповідає точці досліджуваного об’єкта і де поле потенціалів безперервне, у сіткових моделях моделювання здійснюється за допомогою зосереджених параметрів, яким є елементи сітки.

Спільне використання сіткових моделей з ЕОМ означає створення гібридних моделей. На практиці застосовуються комбіновані моделі, що дозволяють поєднати переваги різного типу електричних моделей, а саме моделей суцільних середовищ і сіткових моделей.