Теорема о возрастании (убывании) функции на интервале.

Необходимое условие возрастания (убывания) функции на интервале: Если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает (убывает) на этом отрезке, то ее производная () на этом отрезке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале: Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем () для , то эта функция возрастает (убывает) на этом отрезке.

Доказательство легко получается применением теоремы Лагранжа.

Определение 1. Функция в точке имеет максимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 2. Функция в точке имеет минимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции. Необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке функции является .

Доказательство. Пусть точка - точка максимума, тогда при подходе к этой точке слева она возрастает и , после прохождения этой точки функция убывает и , следовательно, производная существует в точке и меняет знак при переходе через нее. Ясно, что .

Но необходимое условие не является достаточным условием экстремума. Например, если , то при , но точка не является точкой экстремума.

Теорема 1 о достаточном условии существования максимума и минимума функции.

Если производная функции при переходе через точку меняет знак с + на –, это точка максимума. Если знак производной меняется с – на +, имеем точку минимума. Доказательство следует из теоремы о возрастании (убывании) функции.

Теорема 2 о достаточном условии существования максимума и минимума функции. Пусть , тогда при функция имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство.

Из формулы Тейлора в окрестности точки экстремума , в которой удержано три первых члена, имеем

.

Поскольку , что следует из условия теоремы, а остаточный член по определению меньше предыдущего члена формулы, знак приращения функции независимо от того, точка находится левее, или правее , определяется знаком второй производной. Когда , получаем , следовательно, - точка минимума функции, если , значит , тогда - точка максимума функции.

Пример. . .

. В точке 0 экстремума нет.

. В точке 3 минимум функции.