Функции действительных переменных

Числовые величины могут быть переменными и постоянными, то есть меняющимися или не меняющимися в процессе исследования. Переменные величины могут быть независимыми и зависимыми – меняющимися в зависимости от каких-то других величин.

Эти понятия также условны. Если рассмотреть уравнение окружности , в нем участвует две переменные величины и . Одной из них можно придавать в некоторой области любые значения, другая находится из приведенного уравнения. Следовательно, одну из них можно считать независимой, другую – зависимой переменной. При этом независимой переменной может считаться любая из них, тогда вторая будет зависимой.

Функция – это закон, по которому каждому элементу некоторого множества (область определения) ставится в соответствие элемент другого множества (область значений).

Способы задания функции одной переменной

Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.

Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.

Примеры.1. Показательная функция

2. Логарифмическая функция

3. Степенная функция .

Функция может быть задана в виде таблицы или графика, либо формулой (аналитическое задание). В качестве примера приведена функция, аналитическое задание которой , а табличное и графическое ее задания приведены ниже.

x		1.5		2.5
y		2.25		6.25

Аналитически функцию можно задать в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит от , то есть является функцией аргумента .

Можно задать ее неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции

и . График первой функции представляет верхнюю полуокружность, график второй – нижнюю ее часть. Если не требовать непрерывности, то из соотношения можно получить бесчисленное множество функций, заданных на отрезке [-3,3].

Кроме того, возможно параметрическое задание функции , когда вводится дополнительный параметр . Примером является параметрическое уравнение той же, что и выше окружности , в неявном виде записанное как .

Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее определения.

Определение 3. Множество называется областью значений функции.

Определение 4. Любое связное подмножество (то есть такое, что от одной произвольной его точки можно дойти до второй произвольной его точки, оставаясь внутри подмножества) числовой оси называется промежутком.

Открытый промежуток, не включающий граничных точек, называется интервалом и обозначается или . Замкнутый промежуток, содержащий все внутренние и граничные точки, называется отрезком и обозначается или . Существуют также полуинтервалы и . В первом случае в полуинтервал входит только левая граничная точка, во втором – только правая.