Коэффициент усиления системы и дисперсия ошибки регулирования при действии в системе низкочастотных помех и возмущений с известными спектральными плотностями

Дисперсия ошибки регулирования АСР (рис. 2.22а) выражается через частотные характеристики системы и спектральные плотности по управляющему S_c() сигналу и возмущающему S_fi() сигналу, являющимися стационарными случайными функциями, посредством выражения [13]

(2.81)

Удобнее рассматривать АСР с одним приведенным возмущением v(t) (рис. 2.23), т.е. систему с сигналом помехи, приведенным к ее выходу со спектральной плотностью S_v().

Рис. 2.23. К определению оптимальных настроек регулятора при действии в системе помех и возмущений с известными спектральными плотностями

Для этого случая выражение для дисперсии ошибки регулирования упрощается

, (2.82)

где - спектральная плотность результирующего сигнала помехи v(t),

- передаточная функция АСР по ошибке (2.83)

Для многих технологических процессов дисперсия может быть выбрана в качестве технологического критерия качества, причем качество процесса тем лучше, чем она меньше. Следовательно, за оптимальные настройки регулятора следует считать те настройки, которые обеспечивают получение минимума дисперсии (2.82) в области допустимых по запасу устойчивости значений.

При этом расчет такой системы может быть сведен к синтезу оптимальной АСР, минимизирующей среднеквадратичную ошибку (задача Винера), в соответствии со структурой, представленной на рис. 2.24 [13]. Здесь (t)=c(t)- v(t) и при независимости сигналов можно принять, что

S_(ω)=S_c(ω)-S_v(ω) (2.84)

Рис. 2.24. Приведение системы к задаче Винера

Передаточная функция оптимального регулятора этой АСР после определения ее оптимальной частотной характеристики Ф_опт(p) запишется в виде:

, (2.85)

где Ф^o_опт(p) и W^o_об(p) - операторы оптимальной системы и объекта без учета запаздывания. Приняв, что , а также, что при низкочастотных воздействиях

(2.86)

выражение (2.85) может быть записано в виде:

(2.87)

Для получения выражения для W_{р опт}(p) из (2.87) сделаем еще одно упрощение. Исходя из действительной динамической характеристики объекта W_об(p) выберем структуру и параметры аппроксимирующей характеристики W^а_об(p) так, чтобы среднеквадратичная ошибка АСР с регулятором, определяемого выражения (2.87) при замене в нем W^*_об(p) на W^а_об(p), т.е. при

(2.88)

отличалась от среднеквадратичной ошибки оптимальной системы на минимально-возможную величину (см. рис. 2.25), т.е. чтобы .

Рис. 2.25. К получению структуры оптимального регулятора и его настроек

При таком упрощении мы приходим к типовым законам регулирования. Для получения ПИД-алгоритма возьмем в качестве W^а_об(p) апериодическое звено 2-го порядка, т.е.

,

причем в этом случае параметры регулятора (см. табл.2.2) будут определены через параметры W^а_об(p) так:

(2.89)

Взяв в качестве W^а_об(p) апериодическое звено 1-го порядка (T₂=0), получаем ПИ-алгоритм, причем:

, (2.90)

а если W^а_об(p) соответствует усилительному звену (T₂=T₁=0), то получаем И-алгоритм, причем:

(2.91)

При выборе в качестве W^а_об(p) передаточной функции

,

получаем из (2.88) ПД-алгоритм, причем

, (2.92)

а при – П-алгоритм,

причем (2.93)

Сделаем некоторые выводы из полученных результатов.

1. Для АСР с объектами 1-ой группы (статическими) оптимальные по минимуму среднеквадратичной ошибки регулирования переходные процессы имеют место при астатических регуляторах (ПИД, ПИ, И). Для АСР с объектами 2-ой группы (астатическими) такими регуляторами являются статические (ПД, П).

2. Если передаточные функции объектов соответствуют аппроксимируемым, то оптимальные параметры настройки регуляторов определяются выражениями (2.89) - (2.93) .

3. Структуры полученных регуляторов, передаточные функции которых соответствуют типовым промышленным регуляторам, могут быть использованы при создании оптимальных по принятому показателю - (или ) АСР.

Перейдем к рассмотрению соотношений для оптимальных параметров настройки регуляторов для этого общего случая. Исходя из предположения о низкочастотном характере возмущений (), разложим передаточную функцию системы (2.83) в ряд Тейлора и ограничимся двумя членами ряда.

При этом получим [1]

, (2.94)

где

(2.95)

Подставив в последние формулы выражение (2.83) для Ф_(p), которое при учете (2.88) определяется выражением

(2.96)

получим:

(2.97)

Следовательно, частотная характеристика замкнутой АСР в области низких частот может быть представлена следующим образом

, (2.98)

а дисперсия ошибки определена по формуле

(2.99)

Для типовых законов регулирования между ^а_обK^а_об и параметрами настройки регуляторов имеется связь (см. (2.89) - (2.93)):

(2.100)

Из последних формул (2.99), (2.100) следует, что при низкочастотных воздействиях оптимальные параметры настройки промышленных регуляторов практически {с точностью до влияния отбрасываемых членов в (2.94)} не зависят от статистических характеристик S_c() и S_v() . Для П-, И- и ПД-регуляторов для получения следует выбирать наибольшие допустимые по запасу устойчивости значения коэффициентов усиления K_p и K_pи, а для ПИ- и ПИД-регуляторов это условие сводится к максимизации отношения K_p/T_из.

При этом мы приходим к тем же выводам в отношении критериев оптимальности при настройке промышленных регуляторов, что и в предыдущем разделе 2.3.3.

2.3.5. Критерий K_кр и расширенные АФХ (введение критерия K_c)

Выше был обоснован критерий K_кр, но при этом умалчивалось, что согласно ему, система должна быть выведена на границу области устойчивости, что, естественно, не допустимо. Фактически, настраивая АСР по критерию K_кр, мы имеем возможность выбрать коэффициент усиления системы из максимально возможного диапазона его значений, ограниченного максимальным критическим коэффициентом усиления, причем для создания работоспособной АСР он будет меньше этого максимально возможного значения.

При этом, т.е. при введении дополнительных ограничений на систему, показатели качества АСР могут оказаться не самими лучшими при настройке регулятора по критерию K_кр. Например, введя дополнительные ограничения на требуемые запасы устойчивости системы по модулю и фазе, т.е.

и (2.101)

лучших показателей можно добиться при не выполнении критерия K_кр.

С другой стороны , для ряда объектов, настроив систему по K_кр, можно вообще не обеспечить желаемых запасов (2.101), что приведет к неудовлетворительному качеству регулирования. Для таких объектов лучших показателей качества можно достичь, если настроить систему на максимально возможный коэффициент усиления системы при требуемых ограничениях, хотя критический коэффициент усиления системы оказывается в этом случае меньше максимального. Такой подход назовем расчетом АСР по критерию K_c.

Для примера рассмотрим расположение параметров ПИ регулятора при настройке АСР по критериям K_кр и K_c на линиях равной степени затухания при =0, =0.75(m=0.221) и =0.9(m=0.366). Расчетные данные по системе заимствованы нами из [15] для объекта первого порядка с запаздыванием

при =20 с и T₁=100 с и представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. Расчетные данные для АСР с ПИ-регулятором и объектом с при τ=20 с, T₁=100 с

Результаты представлены также в виде линии границы устойчивости (=0) и линий заданного запаса устойчивости (ψ=0.75 и ψ=0.9) в плоскости параметров настройки K_p и K_p /T_из ПИ-регулятора на рис. 2.26.

Соответствующие линии для ψ=0.75 и ψ=0.9 построены исходя из понятия расширенных АФХ [15], а линия для ψ=0 является кривой Д-разбиения в плоскости двух параметров регулятора. В этих координатах настройке АСР по критерию K_кр, как будет показано ниже, соответствуют настройки лежащие на линии T_из=const, проходящей через максимум значения K_p /T_из на линии ψ=0, (точка 1 на рис. 2.26). При ψ=0.75 и ψ=0.9 соответственно получим параметры настройки ПИ-регулятора, отвечающие точкам 2 и 3. В тоже время критерию K_c для ψ=0.75 будут соответствовать параметры ПИ-регулятора, отвечающие точке 4 с максимумом отношения K_p /T_из при ψ=0.75, а для ψ=0.9 - точке 5 с максимумом K_p /T_из при ψ=0.9.

Рис. 2.26. Расположение параметров настройки ПИ-регулятора при настройке АСР по критериям К_кр и К_с

Вид переходных процессов в АСР для настроек, отвечающих соответствующим точкам, приведен на рис. 2.27. Как видно, процессы, отвечающие точкам 2,3 не являются лучшими в сравнении, соответственно, с процессами, отвечающими точкам 4,5 (последние практически совпадают).

Допустив в соответствии с гипотезой об эквивалентной АСР второго порядка, что C и , а также степень затухания  однозначно связаны с коэффициентом колебательности системы m, также воспользуемся понятием расширенных АФХ для обеспечения в АСР требуемых ограничений в виде запасов по модулю и фазе, или заданной степени затухания.

Рис. 2.27. Вид переходных процессов в АСР при различных параметрах настройки регулятора

Напомним, что расширенную АФХ получают путем замены в передаточных функциях оператора p на -mω+jω=(j-m)ω . Соответствующие АФХ будем обозначать как W(m,jω).

Исходным выражением при расчете АСР на заданную степень затухания (заданные запасы по модулю и фазе) является уравнение АСР для расширенных АФХ, аналогичное характеристическому, используемому при расчете системы на устойчивость [15]:

(2.102)

или с учетом (2.51), (2.52)

, (2.103)

где K_c=K_обK_p - коэффициент усиления системы, а W¹_об(m,jω) и W¹_p(m,jω) - расширенные АФХ, соответственно, объекта и регулятора при единичных коэффициентах передачи K_об и K_p.

Наряду с кривыми Д-разбиения по коэффициенту усиления системы, выражение для которых, получаемое из характеристического уравнения системы, имеет вид

, (2.104)

где черта над обозначает, что кривая Д-разбиения является комплексной характеристикой, а W¹_об(m,jω) и W¹_p(m,jω) - соответственно, АФХ объекта и регулятора при единичных коэффициентах передачи K_об и K_p, введем понятие суженных кривых Д-разбиения, которые будем помечать дополнительной чертой над комплексным параметром .

При этом суженные кривые Д-разбиения (кривые Д-разбиения с заданной степенью затухания) по коэффициенту усиления системы получаем из (2.103):

(2.105)

Рассмотрим графическую интерпретацию выражений (2.104) и (2.105) для системы с ПД-регулятором и статическим объектом общего вида с запаздыванием, структура которой представлена на рис. 2.28.

Рис. 2.28. Структурная схема АСР с ПД-регулятором и объектом общего вида

Для данного случая выражения (2.104) и (2.105) запишем в виде:

(2.106)

(2.107)

На рис. 2.29 представлена графическая интерпретация как отдельно числителя (объекта) и знаменателя (регулятора) выражений (2.106) и (2.107), так и результирующие кривые Д-разбиения по (рис. 2.29а) и (рис. 2.29б). Кривые и на рис.2.29 показаны для случая оптимальной настройки регулятора, соответственно по критерию K_кр (рис. 2.29а) и K_c (рис. 2.29б). Доказательство справедливости этого утверждения дано в следующем параграфе.

Для возможности выявления отличий в расчетах по принятым критериям, кривые рис. 2.29б показаны пунктиром на рис. 2.29а.

В дальнейшем верхний индекс 1 будем опускать, помня, однако, что при рассмотрении и речь идет о

характеристиках объекта и регулятора при единичных коэффициентах передачи (усиления), т.е. об их нормированных характеристиках.

Для типовых промышленных регуляторов выполнение критерия будет соответствовать условиям аналогичным (2.100), обеспечивающим минимум ранее рассмотренных в п.п. 1-5 показателям, при наличии ограничений на ψ или c и φ, т.е. для:

Рис. 2.29. Графическая интерпретация кривых Д-разбиения по (а) и (б)

(2.108)

(2.109)

Из суженных кривых Д-разбиения по эти условия определяются сразу. Так для ПД-регулятора (рис. 2.27б) максимальное значение коэффициента передачи регулятора при ограничениях (2.109) определяется из выражения

(2.110)

Из обычных кривых Д-разбиения по , где выделяется возможный диапазон изменения коэффициента усиления системы в виде отрезка действительной оси от начала координат, до ее пересечения с кривой , для нахождения K_p необходимо ввести, например, запас устойчивости по модулю, тогда (см. (2.40))

(2.111)

Для АСР с рядом объектов, как будет показано ниже, оптимальные настройки регуляторов, рассчитанные по критериям K_c и K_кр, могут совпадать. Это позволяет использовать для их расчета лишь критерий K_кр и, следовательно, исключить получение расширенных АФХ (суженных кривых Д-разбиения), что существенно позволит упростить расчет оптимальных настроек регуляторов.