Теорема 3. О предварительно заданной плоской кривой в линии пересечения.
Теорема 2. О двойном соприкосновении.
Распадение линии пересечения
В определенных условиях, рассматриваемых далее, линия пересечения поверхностей 4-ого порядка распадается на кривые низших порядков, сумма порядков которых равна 4. В общем случае возможны сочетания: 1+1+1+1; 1+1+2; 2+2; 1+3.
Если две поверхности 2-ого порядка касаются друг друга в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-ого порядка.
Задача 4_13-а. Лучше решить с построением. Но можно загрузить одноименный файл (лекция 11). Вынести линию. Диагностировать эллипсы.
Следствие. Эллиптические поверхности 2-ого порядка имеют круговые сечения.
Существование круговых сечений вытекает из теоремы 2: нужно обеспечить касание эллиптической поверхности и некоторой сферы. Согласно теореме они пересекутся по двум плоским кривым. Но плоские кривые на сфере – это окружности.
Построение круговых сечений прямого эллиптического конуса:
- построить эллиптический конус;
- построить сечение конуса как его фронтальный очерк;
- опустить перпендикуляр из произвольной точки оси конуса на образующую конуса – на его сечение;
- построить сферу радиусом, равным длине перпендикуляра;
- выполнить объединение и получить линии пересечения;
- вытянуть и диагностировать окружности. Показать два семейства окружностей.
Если две поверхности 2-ого порядка по построению пересекаются по одной плоской кривой, то существует еще одна плоская кривая в линии их пересечения. (4–2=2)
Задача 4_13-б. Загрузить одноименный файл (лекция 11). Диагностировать эллипс. Достроить эллипс до полного.
Теорема 4. Теорема Монжа. (Напомнить: Гаспар Монж – основоположник начертательной геометрии).
Если две поверхности 2-го порядка касаются третьей поверхности 2-ого порядка, то первые две поверхности пересекаются по двум плоским кривым 2-го порядка.
Задача 4.11. Построить самому.
Последовательность построений для реализации пересечения по теореме Монжа:
- Создать контуры вращения заданных тел, обеспечив касание образующих (привязка Tangent) с общей окружностью.
- Построить тела вращением их контуров.
- Выполнить объединение тел.
- Вытянуть линию пересечения. Диагностировать линию пересечения.
Пример с пересечением двух трубопроводов. Разделить заготовки под сварку.
Пример с вписанными эллипсоидами (лекция 11).
Задача о пересечении двух цилиндров равного диаметра с пересекающимися перпендикулярными осями.
Построить два цилиндра разного цвета, сделать копии. Одну объединить – два трубопровода. Вторую пересечь. Получим решение задачи: "спереди – окружность, слева – окружность, но не сфера, что это?".
Срезать половину, создать оболочку – архитектурный свод в храмах.
Пример на пересечение конусов по эллипсу и гиперболе:
- Построить конус вращения с верхней чашей.
- Создать дубликат конуса.
- Построить ось вращения из вершины в центр основания (привязка Center).
- Повернуть один из конусов вокруг произвольной точки оси вращения (привязка Nea) так, чтобы пересеклись обе чаши.
- Придать конусам разный цвет.
- Объединить – образовались эллипс и гипербола.
- Вытянуть кривые. Показать наглядно
- Построить асимптоты гиперболы.