Теорема об изменении кинетического момента механической

системы относительно центра. Производная по времени от кинетического момента ме­ханической системы относительно некоторого неподвижно­го центра равна геометрической сумме моментов всех внеш­них сил, действующих на систему, относительно того же центра.

Доказательство. Для k – й точки системы

.

Выполняя суммирование по всем точкам системы, получим

где — главный момент внешних сил относительно центра О; — по свойству внутренних сил.

.

Следствие. Если главный момент внешних сил относи­тельно некоторого центра равен нулю, то кинетический мо­мент системы относительно этого центра не изменяется (за­кон сохранения кинетического момента).

Теорема моментов относительно оси. Производная по времени от кинетического момента ме­ханической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси.

Доказательство. Спроецируем векторное равенство на оси декартовых координат, получим

.

где — кинетические моменты механической системы относительно осей координат; — главные мо­менты внешних сил относительно осей координат.

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

, тогда .

Теорема Резаля. Скорость конца вектора кинетического момента меха­нической системы относительно некоторого неподвижного центра равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра .

- главный момент внешних сил. С дру­гой стороны - скорость конца вектора кинети­ческого момента. Следовательно,

.

Эта теорема используется в теории гироскопов.