Первое правило исследования функции на экстремум
Достаточное условие экстремума.
Сформулируем условие, позволяющее определить экстремум функции в точке.
| Т. 3.1. | Если функция  дифференцируема во всех точках некоторого интервала содержащего критическую точку  , (за исключением, может быть, самой точки), и если производная  при переходе аргумента через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то функция в этой точке имеет  , если с «-» на «+» - .
|
Доказательство
Пусть 
- критическая точка и пусть для, определенности при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «-», т.е. слева от - положительна, а справа от - отрицательна. Это значит, что существует достаточно малое число 
такое, что 
, если 
, и 
, если 
.
 |
На основании теорем о возрастании и убывании функции заключаем, что
возрастает на 
и убывает на 
. Следовательно, значение функции в точке больше, чем её значения во всех остальных точках сегмента 
, а это значит, что в точке функция имеет .
Аналогично доказывается теорема и для .