(выпуклая вниз) (выпуклая вверх)

Признак выпуклости функции.

Если вторая производная данной функции в некотором промежутке положительна, т.е. f′′(x)>0, то функция в этом промежутке выпукла вниз.

Если вторая производная данной функции в некотором промежутке отрицательна, т.е. f′′(x)<0, то функция в этом промежутке выпукла вверх.

Определение. Точки, в которых выпуклость меняет направление, называются точками перегиба.

Признак точки перегиба функции.

Если при переходе через стационарную точку х₀ вторая производная f′′(x) данной функции меняет знак, то функция в этой точке х₀ имеет точку перегиба.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.

Образец решения.

1.Найти Д(f). 2. Найти f ′(x). 3. Найти f ′′(x). 4. Найти стационарные точки. 5. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 6. Определить знаки второй производной в каждом из интервалов. 7. Применить признаки. 8. Найти ут.п. 9. Записать ответ.

у = х3 – 3х2 1. Д(у)= R,т.к. многочлен. 2. f ′(x)=3х2-6х. 3. f ′′(x)= 6х-6. 4. . f ′′(x)= 0: f ′′(x)не существует: 6х-6=0, нет таких х. 6х=6, х=1. 5. f ′ ′(x) - + 1 6. f ′′(0)=6۰0 -6 = -6 - f ′′(2) =6۰2-6 = 6 + 7. На (-∞;1) выпукла вверх, т.к. f′′(x)>0 На (1;+ ∞) выпукла вниз,т.к.f′′(x)<0 хm.п =1, т. к. f′′(x)меняет знак. 8. уm.п.=1 3 – 3۰12 = -2. 9. Ответ. (1;-2)-точка перегиба. (-∞;1) выпукла вверх (1;+ ∞) выпукла вниз

Закрепи свои знания, выполнив следующие задания:

Пример1: Найти стационарные точки: