МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия — одна из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и
предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы — формирование понятийного аппарата темы.
Понятие— форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.
Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.
Содержание понятия— это множество всех существенных признаков данного понятия.
Объем понятия— множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Например, понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).
Существенные (характеристические) свойства— это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Мы имеем понятие о некоторой вещи, если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе с тем достаточны для ее однозначного определения. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия.
Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий: быть четырехугольником, иметь равные стороны, иметь равные углы. Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами.
Для понятия параллелограмм содержание будет представлено следующими свойствами:
—противоположные стороны равны и параллельны;
—противоположные углы равны;
—диагонали в точке пересечения делятся пополам и др.
Объем понятия параллелограмм представлен множествами следующих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты (схема 2).
Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).
Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовымпо отношению к первому понятию, а первое называется видовымпо отношению ко второму. Например, понятие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем:
—указывается род, в который входит определяемое понятие;
—указываются видовые отличия и связь между ними.
Например, ромб — это параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон).
В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные,объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения:объем одного понятия содержится в объеме другого понятия.
ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ
Формирование понятий — сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по следующей схеме:
ощущения -> восприятие -> представление -> понятие.
Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:
—мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);
—выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);
—формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).
Выделяют два пути формирования понятий (схема 3)
Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под классификацией понимают последовательное, многоступенчатое разделение множества на классы с помощью некоторого свойства.
Классификация понятий— выяснение объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов. Правильная классификация понятий предполагает соблюдение следующих условий:
—классификация проводится по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации;
—понятия, получающиеся в результате классификации, — взаимно независимые;
—сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия;
—в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду.
Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и составное число. Такая классификация натуральных чисел, а также классификация треугольников по сторонам и углам (схема 4) позволяют наблюдать выполнение этих условий.
|
Схема 5. Схема четырехугольников
В методическом смысле полезными в обучении математике могут оказаться и схемы, на которых изображена зависимость изучаемых объектов. Например, в курсе планиметрии рассмотрим класс четырехугольников (схема 5).