Необходимое и достаточное условие нормального закона распределения (НЗР)

Интегральная теорема Лапласа.

Связь с биномиальным законом распределения. Локальная теорема Лапласа (Муавра-Лапласа)

 

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn,m того, что событие A появиться в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее чем больше n) значению функции:

 

 

 

-нормировочная функция плотности нормального распределения. - четная функция.

 

 

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(m1,m2) того, что событие A появиться в n испытаниях от m1 до m2 раз, приближенно равна определенному интегралу:

 

 

или с учетом ранее сказанного:

 

 

- нечетная функция.

 

 

Введем понятие асимптотически нормального распределения (АНР). Пусть дана бесконечная последовательность СВ z1, z2, …, zn. Говорят, что СВ zi имеют АНР с параметрами и , если закон распределения вероятностей СВ , при стремиться к стандартному НЗР. Это означает, что для t1 и t2 > t1, имеет место предельное соотношение.

а если и представляют собой , то есть есть нормированная СВ с M = 0, D = 1, то zn имеет асимптотически НР с центром рассеивания в и средним квадратическим отклонением .