Адиабатное течение газов в каналах

Выше был подробно рассмотрен тот случай, когда энергия потока используется только для совершения технической работы. Не меньший интерес представляет и противоположный случай, когда поток движется в канале переменного сечения без совершения технической работы. Если при этом геометрическая высота центров тяжести сечений канала не изменяется, то общее выражение (9.8) принимает вид

(9.14)

или в дифференциальной форме

(9.15)

Полученное соотношение показывает, что изменение скорости потока в канале всегда обратно по знаку изменению давления, т. е. если давление рабочего тела в канале уменьшается, то скорость его увеличивается, и наоборот, если давление увеличивается, то скорость уменьшается. Это соотношение в принципе справедливо для любого обратимого процесса, однако, в дальнейшем рассматривается тот частный случай, когда теплообмен между потоком рабочего тела и окружающей средой отсутствует и, следовательно, в канале происходит адиабатный процесс изменения состояния рабочего тела. При этом условии понижение давления рабочего тела неизменно сопровождается расширением его, а повышение давления – сжатием.

Каналы переменного сечения, в которых происходит расширение рабочего тела и скорость рабочего тела увеличивается, называются соплами. Сопла широко применяются в технике, в частности они являются неотъемлемым элементом конструкции паровых и газовых турбин, а также реактивных двигателей. Используются они и для получения высокоскоростных газовых и паровых струй ударного действия (например, в обдувочных аппаратах).

Каналы, в которых происходит обратный процесс и за счет уменьшения кинетической энергии потока производится сжатие рабочего тела, следовательно, давление его повышается, называются диффузорами. Диффузоры также широко применяются в технике, например в насосах, вентиляторах, струйных аппаратах и других нагнетателях, а также являются существенным элементом конструкции реактивных двигателей.

Основой для вывода общих закономерностей движения рабочего тела в соплах и диффузорах является уравнение неразрывности потока

, (9.16)

где М – массовый расход рабочего тела;

f – площадь произвольного сечения канала.

Это уравнение показывает, что при стационарном режиме движения потока расход газа во всех сечениях канала одинаков. Логарифмируя его, получаем

,

а после дифференцирования

. (9.17)

Полученное выражение является уравнением неразрывности потока в дифференциальной форме. Преобразуем его применительно к тому случаю, когда рабочим телом является идеальный газ, для которого справедливо уравнение состояния (2.3) и все вытекающие из него закономерности.

Так, логарифмируя уравнение адиабаты (4.14), получаем

,

а после дифференцирования

,

откуда

.

С другой стороны, разделив на ω² соотношение (9.15), получим

.

Подставляя полученное выражение в уравнение неразрывности потока (9.17), находим

или .

Из физики известно, что скорость распространения звука в газовой среде выражается формулой

, (9.18)

следовательно, произведение в правой части полученного равенства представляет собой квадрат местной скорости звука в произвольном сечении канала. Тогда

. (9.19)

Весьма наглядной характеристикой" состояния потока в любом сечении канала является отношение его скорости в данном сечении ω к местной скорости звука а. Это отношение называется числом Маха и обозначается буквой М. Значения М<1 соответствуют движению потока с дозвуковыми скоростями, а значения М>1 – со сверхзвуковыми скоростями.

Вводя число Маха в уравнение (9.19), получаем окончательно

. (9.20)

Данное выражение устанавливает зависимость изменения давления от геометрической формы канала и показывает, что при дозвуковых скоростях (М<.1) для понижения давления (dp<0) канал должен суживаться, а для повышения его – расширяться; при движении потока со сверхзвуковыми скоростями (М>l) картина получается обратной: чтобы давление понижалось, канал должен расширяться, для повышения давления – наоборот, суживаться.

Рассмотренное показывает, что изменение давления и скорости потока создается противоположным воздействием геометрической формы канала на поток в зависимости от того, происходит ли движение его в дозвуковой или сверхзвуковой области. Это положение носит название закона геометрического обращения воздействия.

Физическое истолкование этого закона и приложение его к расчету сопл и диффузоров содержатся в следующих двух параграфах.