Теорема Карно

Приведенное выше выражение для термического к.п.д. цикла Карно было получено исходя из предположения, что рабочим телом двигателя является идеальный газ. Чтобы его можно было использовать при анализе циклов с любым другим рабочим телом, следует доказать положение, называемое теоремой Карно и гласящее, что термический к.п.д. обратимого цикла, осуществляемого между двумя источниками теплоты, не зависит от свойств рабочего тела, при помощи которого совершается этот цикл.

Предположим, что между горячим и холодным источниками теплоты (рис. 5.6) с помощью тепловой машины А может быт совершен прямой цикл, в котором рабочее тело получает от горячего источника тепло в количестве q^/₁ ,отдает холодному источнику тепло в количестве q^/₂ и совершает работу . Термический к.п.д. этого цикла будет равен

.

Если эта машина будет работать в обратном направлении (как показано на рисунке), то вследствие обратимости цикла рабочее тело будет получать из холодного источника тепло в количестве q^/₂ и отдавать горячему источнику тепло в количестве q^/₁, причем на это будет затрачиваться работа l^/₀.

Доказательство теоремы Карно получим «методом от противного». Для этого сделаем предположение, что с помощью машины В, в которой используется другое рабочее тело, можно осуществить обратный цикл, термический к.п.д. которого получается большим, чем у цикла машина А, т.е.

.

Пусть обе машины работают одновременно, причем в машине А совершается обратный цикл, а в машине В – прямой. Подберем количество рабочих тел так, чтобы горячий источник отдавал рабочему телу машины В такое же количество теплоты, какое он получает от рабочего тела машины А, т.е. чтобы .

Тогда получаем, что

,

поскольку по предположению .

Это означает, что в результате осуществления одновременно двух циклов совершается полезная работа . Вместе с тем из неравенства

вытекает, что

,

т.е., что теплота, отнимаемая от холодного источника рабочим телом машина А, больше, чем теплота, отдаваемая ему рабочим телом машины В на величину

.

Это означает, что единственным результатом одновременного осуществления двух циклов является совершение полезной работы за счет теплоты , отнимаемой у холодного источника. Полученный результат находится в противоречии со вторым законом термодинамики в формулировке Планка. Вывод, находящийся в противоречии со вторым законом термодинамики, получается и при иных соотношениях между количеством рабочих тел (например, когда они подбираются так, что или ).

Таким образом, предположение, что можно увеличить термический к.п.д. обратного цикла, взяв другое рабочее тело, приводит к неправильным выводам. Это и является доказательством теоремы Карно.