Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни
Данный критерий оперирует не с абсолютными значениями элементов двух выборок, а с результатами их парных сравнений. Например, существенно, что учащийся Петров решил больше задач, чем учащийся Иванов, а на сколько больше – не важно.
Возьмем две выборки3: {xi}i = 1…N и {yj}j=1…M и для каждого элемента первой4 выборки xi, i = 1…N, определим число ai элементов второй выборки, которые превосходят его по своему значению (то есть число таких yj, что yj > xi), а также число bi элементов второй выборки, которые по своему значению равны ему (то есть число таких yj, что yj = xi). Сумма
по всем N членам первой выборки называется эмпирическим значением критерия Манна-Уитни и обозначается U.
Алгоритм определения достоверности совпадений и различий для экспериментальных данных, измеренных в шкале отношений, с помощью критерия Вилкоксона-Манна-Уитни заключается в следующем:
1. Вычислить для сравниваемых выборок Wэмп – эмпирическое значение критерия Вилкоксона по формуле (4).
2. Сравнить это значение с критическим значением W0.05 = 1,96: если Wэмп ≤ 1,96, то сделать вывод: "характеристики сравниваемых выборок совпадают с уровнем значимости 0,05"; если Wэмп > 1,96, то сделать вывод "достоверность различий характеристик сравниваемых выборок составляет 95%".
(4) Wэмп =
3Ограничение на использование критерия Вилкоксона-Манна-Уитни следующее: каждая выборка должна содержать не менее трех элементов, если же в одной из выборок всего два элемента, то во второй их должно быть не менее пяти.
4 Какую выборку считать первой, а какую второй, не имеет значения, хотя при вычислениях удобнее первой считать ту выборку, в которой меньше членов
Математические основы, используемые в ЭС.
Некоторые математические условные обозначения:
" - всеобщность.
$ - существование.
@ - конгруэнтность (равные фигуры).
Þ - .следует
® - стремится к.
Û - эквивалентно.
АÇВ - множества А и В имеют общую часть, пересекаются.
АÈВ - объединение множеств А и В.
АÌВ - А является подмножеством множества В.
хÎА - х принадлежит множеству А.
хÏА - х не принадлежит множеству А.
А = {а, в, с} – множество состоит из элементов.
]а, в[ - интервал (открытый промежуток).
[АВ] - отрезок.
│АВ│ - длина отрезка.
О - пустое множество.
Основные логические связки:
А&В - А и В (АÙВ - коньюнкция).
АÚВ - А или В (дизьюнкция).
┐А - .отрицание (не А).
АÉВ - если А то В (импликация).
АÅВ - либо А либо В (исключающее или).
АºВ - А если и только если В.
События
Н - событие, когда гипотеза верна.
Е - событие, которое подтверждает или не подтверждает гипотезу.
Вероятности
Р(Н) - вероятность, что событие Н истинно.
Р(Е) - вероятность, что событие Е произошло.
Р(┐Н) - вероятность, что событие Н ложно (=1-Р(Н)).
Е1 и Е2 - независимы, если и только если Р(Е1 Ù Е2)=Р(Е1)*Р(Е2).
Р(Н:Е) - условная вероятность наступления Н при наступлении события Е.
Если события Н и Е независимы, то Р(Н:Е)=Р(Н). В общем случае Р(Н:Е)=Р(НÙЕ)/Р(Е). Аналогично Р(Е:Н)=Р(ЕÙН)/Р(Н), поэтому Р(Н:Е)=Р(Е:Н)*Р(Н)/Р(Е).
Теорема Байеса
Р(Н:Е)=Р(Е:Н)*Р(Н)/(Р(Е:Н)*Р(Н)+Р(Е:┐Н)*P(┐Н))
Нахождение Р(Н:Е) не всегда очевидна. Вероятность Р(Е:Н) часто более очевидна и теорема Байеса позволяет рассчитать значение Р(Н:Е) после появления нового события в результате эксперимента или диалога.
Априорные и апостериорные вероятности
Р(Н) - априорная вероятность истинности гипотезы Н без учета факта существования Е.
Р(Н:Е) - апостериорная вероятность гипотезы Н при осуществлении события Е.
Пример расчета: 1. Р(Н) – априорная вероятность гипотезы (или события) Н. 2. При осуществлении события Е1 запишется значение Р(Е1:Н). 3. С учетом теоремы Байеса проводится расчет Р(Н:Е1), т.е. вычисляется апостериорная вероятность Н. 4. Для рассмотрения Е2 проводится расчет по п.1 приняв значение Р(Н:Е1) равной Р(Н).
Шансы
Шансы в пользу наступления какого-то события можно вычислить, зная вероятность этого события: О(Е)=Р(Е)/(1-Р(Е)).
Аппроксимации
Р(АÙВ)=min(Р(А), Р(В)), Р(АÚВ)=max(Р(А), Р(В)). Эти выражения верны только при независимости Р и А.
Комбинаторика
Если имеется n событий и из них выбрано х, то число вариантов выбора равно: n!/(n-x)!*x!. Например 4!= 4*3*2*1=24.
Описательная статистика
Среднее, стандартное отклонение и т.д.
Распределения
Нормальное распределение и т.д.
Дискретные и непрерывные переменные
Дискретные – например, да/нет.
Поверхности
Плоские и т.д.
Проблема разделения
Проблема классификации объектов.
Обучающие алгоритмы
Параллельные и последовательные процедуры
Минимальные и максимальные значения
Стратегии поиска решений
Промежуточные выводы
Система комментирующая действия
Линейная интерполяция откликов
Формат данных
Структура ЭС по аналитической химии и метрологии
1. Справочник констант; явлений и свойств; справочник результатов эксперимента (спектров, анализов и др.); веществ, стандартных образцов и реактивов, ГОСТов.
2. Расчеты по математическим моделям для учебных, научных, производственных целей.
3. Методы, методики исследований.
4. Обработка и планирование эксперимента.
5. Теоретические данные (лекции, тесты, задачи). Химия - равновесия, кинетика, термодинамика, механизмы реакций; Физика; Математика; Аналитическая химия; Метрология.
6. Новая информация.
.