Параметры, характеризующие генеральную совокупность, выборку, единичное измерение.

Параметры А(m.) и s относятся к случаю бесконечно большого числа измерений величины Х (что отражается термином “генеральная”). В действительности все измерения и исследования проводятся с некоторым ограниченным и конечным числом объектов, и поэтому все получаемые при этом характеристики будут только приближаться к параметрам генеральной совокупности, не совпадая с ними полностью. В некоторых случаях, когда число измерений достаточно велико (более 50, много сотен или тысяч), опытные данные уже достаточно близко совпадают с параметрами генеральной совокупности, и в этом случае считают, что А и s известны.

Далее в основном будут рассмотрены правила статистического анализа для варианта, когда параметры генеральной совокупности (величины А и s) неизвестны - это наиболее характерный случай.

Основным методом изучения характеристик многочисленных объектов или повторяющихся величин является выборочный метод, который заключается в следующем: имеется некоторая большая совокупность объектов (которая может приближаться к генеральной совокупности, представляющей полную, истинную характеристику величины). Из этой совокупности извлекается n объектов, которые образуют выборку. Эти n объектов подвергаются исследованию, по результатам которого рассчитывают характеристики, которые являются приближенной оценкой истинных характеристик всей реальной совокупности объектов (всей генеральной совокупности).

При этом возникают следующие вопросы:

1. Как можно охарактеризовать свойства выборки (средние значения величины, ее однородность и т.п.), имея в виду основную цель - заложить максимум информации в минимальный объем измерительной и расчетной работы?

2. Насколько близки полученные характеристики выборки к характеристикам всей генеральной совокупности?

3. Какова должна быть выборка, чтобы она достаточно правильно (достоверно) представляла всю генеральную совокупность?

Параметрами, которые определяют статистические закономерности результатов наблюдений, являются среднее арифметическое и стандартное отклонение.

В зависимости от объема выборки и степени приближения ко всей генеральной совокупности результаты измерений могут относиться к:

- отдельным (единичным) измерениям;

- выборкам различного объема;

- генеральной совокупности в целом.

Наименования и принятые обозначения величин приведены в таблице 1.

Процесс статистического анализа начинается с исследования единичных результатов наблюдений (измерений), по ним определяются величины, характеризующие выборку, которые в свою очередь являются приближенной оценкой параметров генеральной совокупности. При увеличении объема выборки приближенные оценки Х и S(Х) все более приближаются к генеральным параметрам m (А) и s.

 

Таблица 1.

Наименования и обозначения величин при статистическом анализе.

Объем (уровень) Анализируемой информации Параметры, характеризующие
  абсолютное значение величины степень рассеяния, достоверность, погрешность, ошибку найденного значения
1. Единичные значения х1, х2, х3 . . . . х* - единичные результаты измерений Sn** - среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) единичного результата измерения
2. Выборка (от 2-х до десятков сотен измерений)   Х2; Х5; . . . Х** - выборочные средние результаты измерений S(Х) - среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) результата измерения
3. Генеральная совокупность (тысячи и более измерений) m (А) - генеральное среднее s - генеральное среднее квадратическое отклонение

 

* - индекс означает порядковый номер наблюдений.

** - индекс означает число наблюдений в данной серии, по которой вычислены Х и S(Х). (При n > 20 индекс опускается.)

 

Информация, заложенная в генеральные или выборочные параметры, дает возможность расчетным путем получать характеристики выборок другого объема, а также вероятные значения единичных наблюдений (измерений). Эта информация также позволяет рассчитывать значительное число других показателей (выход годной продукции, точность измерений и др.) и давать обоснованные заключения (выявление грубых отклонений и промахов, равенство или различие показателей технологических процессов, наличие или отсутствие неучтенных факторов и т.п.).

Однократное измерение.

Подавляющее большинство измерений являются однократными. В обычных условиях их точность вполне приемлема, а простота, высокая производительность и низкая стоимость ставят их вне конкуренции.

Метрологический анализ однократного измерения выявляет в нем две главные особенности:

1) из множества возможных значений отсчета получается и используется только одно:

2) представление о законе распределения вероятности отсчета и его среднем квадратическом отклонении формируется исключительно на основе априорной информации.

Порядок действий при однократном измерении состоит в следующем.

1) Предварительно проводится тщательный анализ априорной информации. В ходе этого анализа уясняется физическая сущность изучаемого явления, уточняется его модель, определяются влияющие факторы, принимаются решения в пользу той или иной методики измерения, выбирается средство измерений, изучаются его метрологические характеристики. Важным итогом этой предварительной работы должна стать уверенность в том, что точности однократного измерения достаточно для решения поставленной задачи.

2) Если это условие выполняется, проводят основную измерительную процедуру - получение одного значения отсчета Х1 = Q / [Q]. Т.к. отсчет, согласно основному постулату метрологии, является случайным числом, уже на этапе получения отсчета возникает дефицит измерительной информации, который позже может быть восполнен только за счет априорных сведений.

3) Единственное значение отсчета х1 , используется для получения одного единственного значения показания Х1 средства измерений, имеющего ту же размерность, что и измеряемая величина: Х1 = х1 [Q]. Дальнейшее зависит от того, какая в данном случае используется априорная информация.

4) Если используется информация о классе точности средства измерений, то тем самым учитывается рассеяние отсчета и поправка, обусловленные свойствами этого средства измерений.

Пределы Q1 и Q2 , в которых находится значение физической величины, поданной на вход средства измерений, устанавливаются через единственное значение показания Х1: Q1 £ Q £ Q2.

5) Далее учитываются особенности метода измерений, условий, в которых оно выполнялось, и других влияющих факторов. Внесение суммарной поправки q, смещающей Q1 и Q2 вправо или влево в зависимости от знака поправки, позволяет установить пределы, в которых находится значение измеренной величины:

Q1+ q £ Q £ Q2 + q.

В качестве априорной информации может использоваться также опыт подобных измерений в прошлом, на основании которого известен закон распределения вероятности отсчета, а следовательно, и показания средства измерений.

Следует иметь в виду, что при измерениях никто не застрахован от ошибок. Может оказаться ошибочным и единственное значение отсчета х1 при однократном измерении. Во избежании такой ошибки однократное измерение рекомендуется 2-3 раза повторить без совместной обработки полученных результатов.

Многократное измерение.

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера производится при повышенных требованиях к точности измерений. Такие измерения характерны для профессиональной метрологической деятельности, а также при тонких научных экспериментах.

Метрологический анализ многократного измерения показывает, что главной его особенностью является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации. Это не означает, что необходимость в анализе априорной информации отпадает. Такой анализ обязательно предшествует многократному измерению и преследует те же цели, что и при однократном измерении, но с той разницей, что при многократном измерении распределение вероятности результата измерения устанавливается экспериментально.