Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.

Предположим, что на каждых торгах цена акции может изменяться только в и раз (), и решим задачу о цене опциона в случае . Соответствующая задача ЛП имеет вид

(48)

			(49)

Здесь и т.д. -- значения функции выплаты при соответствующих ценовых ситуациях.

Для ее решения перейдем к двойственной задаче, которая выглядит следующим образом:

(50)

(51)

В дальнейшем будем использовать симплекс-метод. Чтобы определить начальный допустимый базис, воспользуемся ''методом искусственного базиса'' (см. например, [11]). Введем вспомогательные (так называемые ,,искусственные") переменные следующим образом:

(52)

Для системы (54) переменные и образуют допустимый базис. Если перевести эти переменные в небазисные, то они примут нулевые значения, и мы получим допустимый базис для системы (53). Для такого перевода можно использовать симплекс-метод. А именно, решим задачу минимизации функции при ограничениях (54) и

Указанная процедура приводит к следующему результату:

(53)

Взяв этот допустимый базис в качестве исходного и применяя симплекс-метод, легко видеть, что функция (50) достигает минимума, равного

если величина

неотрицательна. Интересно отметить, что это всегда так для call-опциона с функцией выплаты , как показывает несложный анализ. Для этого надо рассмотреть варианты соотношения величины и стомости акции в момент времени , ( например, , и т.д. ), и произвести простые алгебраические манипуляции.

Видно, что в этом случае добавление третьего состояния не дает ничего существенно нового для определения рациональной стоимости опциона: такой же результат дает биномиальная модель по формуле (49), если вообще не рассматривать возможность изменения цены акции в раз. На цену влияют лишь максимальный и минимальный коэффициенты.

Однако для других функций выплаты возможны и другие варианты: если , то стоимость опциона будет

Теперь игнорируется уже состояние, соответствующее росту акций в раз.