Численное решение одного дифференциального уравнения

MathCAD 2000 позволяет без дополнительных преобразований численно решить дифференциальное уравнение, явно разрешенное относительно старшей производной (рис. 15).

а) б)

Рис. 15. Примеры уравнений, разрешенного (а) и неразрешенного (б) относительно старшей производной

Решение осуществляется с помощью специального блока Given-Odesolve, состоящего из следующих компонент:

1. Директива Given.

2. Дифференциальное уравнение, записанное в традиционной математической форме со следующими особенностями: а) вместо простого знака равенства «=» используется оператор логического равенства (вводится нажатием Ctrl-=); б) при обозначении интегрируемой функции всегда указывается аргумент (то есть вместо функции x(t) нельзя писать просто x); в) при записи производных используются либо стандартные операторы и , либо ставятся (с помощью Ctrl-F7) символы производной, например x’(t), x’’(t).

3. Указание начальных или конечных значений интегрируемой функции и ее производных (за исключением старшей), входящих в уравнение. Значения вводятся в традиционной форме с использованием оператора логического равенства. Число значений должно совпадать с порядком уравнения. Для уравнения второго порядка вида должны быть заданы начальные значения функции и ее первой производной, например x(0) = 1; x’(0) = 0,5. Для ввода символа производной «’» используется комбинация клавиш Ctrl-F7.

4. Обращение к функции Odesolve. Первый аргумент - всегда имя независимой переменной. Второй аргумент - конечное значение независимой переменной. Третий (необязательный) аргумент - количество промежуточных точек решения. Odesolve возвращает функцию, представляющую приближенное (численное) решение дифференциального уравнения на заданном интервале времени. Данная функция может быть использована для определения значений интегрируемой функции в различных точках, а также для построения графика.

Пример. Решим вышеуказанное дифференциальное уравнение при значениях t = 0..5; найдем значения x при t = 2; 4, и построим график решения.

Численное решение систем дифференциальных уравнений с использованием Odesolve возможно только начиная с версии MathCAD 11. В более старых версиях можно воспользоваться специальными функциями (rkadapt, rkfixed, bulstoer).