Нормальный закон.

Показательное распределение.

Равномерное распределение.

Распределение Пуассона.

Биномиальное распределение.

Распределения случайных величин.

В данном параграфе рассматриваются некоторые наиболее часто используемые распределения случайных величин.

Пусть сл. величина X- число появлений события А в n испытаниях,

Вероятность P(A) постоянна в каждом испытании и равна p. Тогда вероятность появления события Аm раз в n испытаниях определяется по формуле Бернулли:

,

q =1-p, m = 0,1,…,n

Биномиальное распределение может быть задано таблицей:

или функцией распределения:

Найдем числовые характеристики распределения. Для этого рассмотрим сначала случайную величину Xкак сумму следующих случайных величин:

X₁ - появление события A в 1-м испытании;

X₂ - появление события A во 2-м испытании;

………………………………………………….

X_n - появление события A в n-м испытании.

Очевидно, X_i = 0, если A не появляется в i-м испытании,

X_i = 1, если A появляется в i-м испытании. Тогда X_i может быть задана таблицей:

Следовательно,

M[X_i] = 0∙q +1 ∙ p = p, D[X_i] = (0 – p)²q + (1 – p)²p = p²q + q²p =

= pq(p + q) =pq.

Так как X = X₁ + X₂ +…+ X_n, то

M[X] =np, D[X] = npq. (7.1)

Пусть в биномиальном распределении при неограниченном увеличении n сохраняется равенство:

λ = n∙p,

то есть p = λ/n, при этом . Можно показать, что

.

Тогда вероятность того, что случайная величина X принимает значение m, равна:

.

Случайная величина X задается таблицей:

Можно показать, что M[X] =λ, D[X] =λ. (7.2)

Случайная величинаXназывается равномерно распределенной на отрезке [a,b], если плотность распределения определяется формулами:

Постоянная c определяется из условия:

. (7.3)

Определим интегральную функцию распределения, используя формулу

После вычислений получим:

(7.4)

, . (7.5)

Показательное распределение задается дифференциальной функцией:

(7.6)

Параметр λ > 0.

Показательное распределение часто используется при изучении сроков службы различных устройств, времени безотказной работы отдельных элементов систем и систем в целом, то есть при рассмотрении случайных промежутков времени между появлениями двух последовательных редких событий. λ - интенсивность отказов, то есть вероятность отказа элемента в единицу времени после данного момента времени при условии, что до этого момента отказа не было.

Интегральная функция распределения равна

(7.7)

Вычислим мат. ожидание и дисперсию.

(7.8)

Нормальный закон распределения Гаусса наиболее часто встречается при анализе погрешностей измерения, контроле различных процессов, анализе явлений в биологии, медицине и т.д. Главная особенность данного распределения состоит в том, что нормальное распределение является предельным распределением, к которому приближаются другие распределения. Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции имеют вид:

(7.9)

Мат. ожидание и дисперсия:

M(x)=a, D(x) = σ². (7.10)

На рисунке изображены кривые φ(x) и Φ(x) при a=0, σ =1. Эти функции определяют нормированный нормальный закон распределения:

(7.11)

Исследуя функции (7.9), можно доказать следующие свойства нормального распределения:

1. Для любого xÎ (-¥,¥) функция f(x) определена.

2. Для любого xÎ (-¥,¥) функция f(x)>0.

3.

4. При x=a f(x) принимает максимальное значение

5. График функции f(x) симметричен относительно прямой x=a.

6. График функции f(x) имеет две точки перегиба с координатами:

7. Форма графика функции f(x) не меняется при изменении параметра a (происходит сдвиг по оси Ох), при изменении параметра σ меняются форма кривой и максимальное значение, при этом площадь подграфика остается равной 1.

8. Из теоремы 5.2 следует, что вероятность попадания нормально распределенной сл. величины в интервал (x₁,x₂) равна

(7.12)

В практических вычислениях используют таблицы функций φ(x) и Φ(x). Заметим, что в таблицах для Φ(x) отсутствуют положительные значения аргумента, а в вычислениях применяется очевидное соотношение

Φ(x) = 1- Φ(-x). (7.13)

Во многих учебных пособиях для определения вероятностей попадания в интервалы применяется не функция распределения, а функция Лапласа:

(7.14)

Функция Лапласа удовлетворяет следующим свойствам:

1. определена на числовой оси.

2. .

3. .

4. возрастающая функция.

5. , то есть функция нечетная.

6. .

7.