Элементы комбинаторики.

Классическое определение вероятности события.

Статистическое определение вероятности.

Математические модели случайных величин.

Кроме закономерных явлений, исход которых однозначно определен некоторыми условиями, существуют явления с неоднозначным исходомпри повторении опытов с сохранением основных условий проведения. К этому приводит влияние большого числа причин, каждая из которых не может заметно изменить результат. События, связанные с такими явлениями, называются случайными. Например, выпадение «герба» при подбрасывании монеты, результаты измерений, параметры железобетонных изделий.

Теория вероятностей изучает массовые случайные события,возникающие в результате осуществления условий, которые можно воспроизводить (хотя бы в принципе) много раз.

Наиболее объективной характеристикой случайного события A можно считать относительную частоту появления:

,

‒ число опытов, в которых событие А наступило;

n – общее число опытов.

Для многих событий величина h_n(A) при увеличении n становится почти постоянной. Это свойство называется статистической устойчивостью частот случайного события.

Таким образом, со случайным событием А можно связать некоторое число P(A), с которым сближается h_n(A) при n→∞. Это число называется статистической вероятностью события А.

Такое описание вероятности довольно неопределенно. Для придания точного смысла нужно построить математическую модель случайного явления. Раздел математики, изучающий математические модели случайных явлений, называется теорией вероятностей.

Под событием будем понимать любой факт, который может произойти в результате испытания. Испытание – это осуществление определенного комплекса условий.

Простейший пример – результатом подбрасывания монеты могут быть два события. Событием можно считать выход со станка деталей, размеры которых лежат внутри определенного интервала.

Основные определения.

Событие называется возможным или случайным, если оно может произойти в результате данного опыта, а может и не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате испытания, и невозможным, если не может произойти в результате данного опыта.

Совместныминазываются события, которые могут появиться в одном испытании. Несовместные события в одном испытании появиться не могут.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Случайные события образуют полную группу событий, если при каждом испытании обязательно появится хотя бы одно из них.

Под противоположным событием событию А понимают событие, которое обязательно произойдет, если не произошло событие А.

-- обозначение противоположного события.

Схема случаев (шансов).

События, образующие полную группу несовместных, равновозможных событий,называются случаями или шансами.При этом опыт сводится к схеме случаев или схеме урн.

Случай называется благоприятствующим некоторому событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Определение.(Лаплас, 18-й век)

Вероятностью Р события А называется отношение числаm случаев, благоприятствующих событию А, к числуn всех возможных случаев.

.

Из определения непосредственно следуют свойства (или аксиомы вероятности).

1. .

2. Р(А)=1, если А – достоверное событие.

3. Р(А)=0, если А – невозможное событие.

4. Р(А)=1, если А – появление хотя бы одного из событий, образующих полную группу.

5. .

Пример 1. В ящике 10 бракованных и 15 годных деталей, найти вероятность события А (извлечение годной детали) и противоположного события.