Ядро функции (Kerf)

Пусть f: X®Y – функция. Ядро функции f определяется обычным образом, Kerf = fÍ X´X.

Опишем свойства бинарного отношения Kerf, когда f - функция. Найдем сначала ядро биекции.

Если y= f(x) – биекция, то x= (y) определяется однозначно. Имеем

f (x) = (f(x)) = (y) = x Þ f = .

Соответственно f (у) = (f(у)) = (х) = у Þ f =Iу.

Таким образом, ядро биективной функции – это тождественное отображение области определения функции на нее же.

В общем случае уже не функция, а просто бинарное отношение, и тогда справедливо такое утверждение.

Утверждение.

Ядро функции – это отношение эквивалентности на области определения функции.

Доказательство. Выясним, какие упорядоченные пары принадлежат ядру функции f.

и и. Если пара (x1, x2) принадлежит ядру, то у элементов этой пары один и тот же образ.

f(x1) = f(x2) = y Þ (x1, y)Îf и (x2, y)Îf Þ(x1, y)Îf и (y, x2)Î Þ (x1, x2)Î f .

Таким образом, (x1, x2)Î f Û f(x1) = f(x2).

Теперь нетрудно доказать, что f – рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение.

1. Рефлексивность: f(x) = f(x) Þ (x, x)ÎKerf;

2. Симметричность: Если f(x1) = f(x2), то f(x2) = f(x1). Значит, (x1, x2)Î Kerf Þ (x2, x1)Î Kerf;

3. Транзитивность: Если f(x1) = f(x2), f(x2) = f(x3), то f(x1) = f(x3); (x1,x2)ÎKerf и (x2, x3)Î Kerf Þ (x1, x3)ÎKerf.

Как было показано, всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества, на котором оно задано, на непересекающиеся непустые классы эквивалентности. В случае ядра функции, класс эквивалентности состоит из всех элементов области определения, имеющих один и тот же образ.

Пример.

Возьмем y =sin(x) . Тогда [0]={kp, k Î Z},

[p/6]={π/6 + 2kπ, k Î Z} {5/6π+2kπ, k Î Z};

[-p/2]={-π/2 + 2kπ, k Î Z} и т.д.

В заключение приведем ещё несколько примеров решения задач.

Пример 1.Пусть Х, Y – два множества, состоящие из n и m элементов соответственно. Какова мощность множества всех тотальных функций, определенных на Х, со значениями в Y?

Решение.Чтобы задать любую тотальную функцию нужно выполнить одно за другим и независимо одно от другого n действий: указать образ каждого элемента множества Х. Но каждое действие можно выполнить m способами Þ число функций равно mn.

Пример 2. Доказать, что , где f – произвольная функция, и что равенство получается, когда инъекция. Привести пример строгого включения.

Решение.

1. и

и .

2. Если инъекция, условие однозначности выполнено также и для значений функции , по каждому значению однозначно определяется аргумент , значение которого равно .

,

, .

3. Если не инъекция, то множества аргументов могут вообще не пересекаться, а множества значений могут иметь не пустое пересечение. Положим . Тогда , , ,

.

Пример 3. Доказать, что .

Решение.

,

, .

, и

.

Замечание. Запись читается так: существует и единственен элемент .