Приклад.
План
Решение двумерного уравнения теплопроводности
Двумерные базисные функции
Выбрав таким образом двумерные базисные функции, искомую функцию на квадратном конечном элементе можно представить как:
Для реализации метода конечных элементов нам необходимо:
1 шаг.
2 шаг.
1. Основні поняття.
2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості
3. Мінори та алгебраїчні доповнення.
4. Обчислення визначників
5. Правило Крамера.
1. Основні поняття
Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:
(1.1)
Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з невідомими (змінними), де x1, x2, ..., xn — невідомі; aij 
— коефіцієнти системи рівнянь; bi 
— вільні члени, або праві частини системи рівнянь. Якщо всі bi = 0 , то система лінійних рівнянь називається однорідною.
Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, ..., kn, у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2, ..., xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на правильні числові рівності.
Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо розв’язків більш як один.
2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості
Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
Визначником другого порядку називається вираз
.
.
Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Визначником третього порядку називається вираз:
. (1.2)
Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):
Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» — це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a13, a21, a32 і a12, a23, a31, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.
Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).
У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:
Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.
Визначник:
,
рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.2).
Властивості визначників
Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.
З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.
Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.
Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.
З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.
Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.
Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.
3. Мінори та алгебраїчні доповнення
Мінором елемента 
визначника називається визначник, який позначається символом 
, який виходить з даного викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Алгебраїчним доповненням елемента визначника, позначуваним 
, називається його мінор, узятий зі знаком плюс, якщо сума номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент парна, і зі знаком мінус в іншому випадку, тобто
.