Базисные функции метода конечных элементов

Решение одномерного уравнения теплопроводности

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Суть метода в том, что искомая функция ищется интерполяцией с помощью базисных функций. В этом случае отпадает необходимость расчета производных методом конечных разностей.

Пусть отрезок [a,b], на котором определяется искомая функция, разбит N точками на (N-1) равных отрезков (конечных элементов) длиной . На рисунке показан случай, когда N = 4.

Значения функции в этих точках равны , , .... , . на каждом из конечных элементов функцию u(x) можно представить с помощью базисных функций :

1 элемент
2 элемент
(N-1) элемент

Суммируя по всем элементам, получим:

На каждом отрезке изменяется от 0 до 1.

Вид функций для N = 4 приведен ниже.

(1)

Рассмотрим перечисленные выше шаги.

- весовая функция.

(2)

Пусть g есть функция только х. Тогда в случае, когда область интегрирования - отрезок [a,b], интегральное уравнение имеет вид:

(3)

(4)

Тогда

(5)

В этом случае интегральное уравнение (3) преобразуется к виду

(6)

Или

(7)