РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Будем искать решение этой задачи методом Кранка-Николсона. Рассмотрим вначале одномерное нестационарное уравнение диффузии.

Запишем производную по времени в k-й точке х в n-й момент времени в виде:

Здесь - шаг по времени. В правой части вторую производную по координате можно взять как в момент времени ,

так и в момент времени

Суть метода Кранка-Николсона заключается в том, что производная в правой части берется как среднее арифметическое от производных в точках и . То есть

Для двумерного уравнения диффузии

в рамках метода Кранка-Николсона запишем вторые производные по х и по у

как среднее арифметическое от производных в точках и ,

перенесем все значения функции в момент времени влево, а в -й вправо. Получим.

,

Или

(1)

(2)

Схема расчета по методу Кранка-Николсона такова:

1. В начальный момент времени из начальных и граничных условий методом SOR (или каким-либо другим методом) находим значения функции U.

2. Вычисляем с ее помощью в этот же момент времени по формуле (2) функцию F.

3. По формуле (1) с помощью уже вычисленной функции F и граничных условий находим значение функции U в следующий момент времени.

4. Вычисляем с ее помощью по формуле (2) функцию F.

5. По формуле (1) находим значение функции U в следующий момент времени.

6.И так далее.