РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Будем решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона.

в прямоугольной области , .

Для численного решения данной задачи применим метод SOR (метод последовательной верхней релаксации). Вначале используем метод конечных разностей. Для этого разобьем отрезок [a,b] на K равных интервалов длиной , а отрезок [c,d] - на L интервалов той же длины. Пусть при этом , . Тогда

Таким образом, мы разбили весь прямоугольник , на квадраты со стороной ,получив при этом сетку (решетку). Будем искать нужную нам функцию в узлах этой решетки методом конечных разностей. То есть будем искать эту функцию в виде матрицы

Запишем вначале в одномерном случае рамках метода конечных разностей производную функции U по х в точке . Получим

Для второй производной в точке получим

Аналогичным образом, для второй производной в точке имеем

Перейдем теперь к двумерной области и найдем вторые производные в точке , .

,

Подставив полученные таким образом вторые производные в уравнение Пуассона, имеем

Коэффициенты перед матричными элементами в данном случае равны 1 и 4. Однако в общем случае (полярные координаты, например) мы должны записать

и вычислить A, B, C, D, E.

Перепишем полученное нами уравнение в следующем виде:

Разность между левой и правой частями уравнения называется невязкой

Или

Подставляя в правую часть (3) уравнение (1) имеем

Уравнение (4) является тождеством. Его можно использовать в случае, когда решение ищется методом последовательных приближений

Это и есть основное уравнение метода SOR. Параметр обычно выбирается не тождественно равным 1, изменяющимся параметром от 1 до 1.5. Это делается для лучшей сходимости метода. В качестве начального приближения берется функция, тождественно равная 0 внутри области определения и равная граничным условиям на границе области.