РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Будем решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона.
в прямоугольной области ,
.
Для численного решения данной задачи применим метод SOR (метод последовательной верхней релаксации). Вначале используем метод конечных разностей. Для этого разобьем отрезок [a,b] на K равных интервалов длиной , а отрезок [c,d] - на L интервалов той же длины. Пусть при этом
,
. Тогда
Таким образом, мы разбили весь прямоугольник ,
на квадраты со стороной
,получив при этом сетку (решетку). Будем искать нужную нам функцию в узлах этой решетки методом конечных разностей. То есть будем искать эту функцию в виде матрицы
Запишем вначале в одномерном случае рамках метода конечных разностей производную функции U по х в точке . Получим
Для второй производной в точке получим
Аналогичным образом, для второй производной в точке имеем
Перейдем теперь к двумерной области и найдем вторые производные в точке ,
.
,
Подставив полученные таким образом вторые производные в уравнение Пуассона, имеем
Коэффициенты перед матричными элементами в данном случае равны 1 и 4. Однако в общем случае (полярные координаты, например) мы должны записать
и вычислить A, B, C, D, E.
Перепишем полученное нами уравнение в следующем виде:
Разность между левой и правой частями уравнения называется невязкой
Или
Подставляя в правую часть (3) уравнение (1) имеем
Уравнение (4) является тождеством. Его можно использовать в случае, когда решение ищется методом последовательных приближений
Это и есть основное уравнение метода SOR. Параметр обычно выбирается не тождественно равным 1, изменяющимся параметром от 1 до 1.5. Это делается для лучшей сходимости метода. В качестве начального приближения берется функция, тождественно равная 0 внутри области определения и равная граничным условиям на границе области.