Елементарна класична теорія провідності металів

Електричний струм в газах та електролітах

Електричний струм у вакуумі. Дослід Ейхенвальда. Струм зміщення

Правила Кірхгофа

Електричний опір. Правила з’єднання провідників

Закони Ома та Джоуля-Ленца

Модель електричного струму. Поняття електрорушійної сили

Лекція №8 Електричний струм

Підсумок заняття.

Висновки.

ü Модель електричного струму. Поняття електрорушійної сили

Електричний струм у провідниках зумовлений рухом вільних, нелокалізованих електричних зарядів, які переносяться так званими носіями струму (мікрочастинками типу електронів, протонів, іонів, тощо).

Для виникнення електричного струму в середовищі необхідними є дві принципові умови: існування в середовищі вільних електричних зарядів, які можуть переміщатися в просторі та наявність зовнішнього електричного поля, яке підтримує спрямований рух вільних зарядів.

За позитивний напрямок електричного струму приймається напрям руху позитивних зарядів. Негативні заряди рухаються проти напряму струму, як це видно з рис.1.

Електричне поле в середовищі потрібно для створення прискореного руху вільних зарядів. Як відомо, на заряд в електричному полі напруженості діє сила , що надає їм прискорення в напрямі електричного поля. У вакуумі електричні заряди дійсно рухаються прискорено, але в речовині існують зіткнення носіїв заряду з іншими частинками, в результаті яких енергія, отримана носіями від електричного поля, розсіюється, передається іншим частинкам. Результатом таких зіткнень є те, що носії заряду спрямовано рухаються по середовищу під дією електричного поля з деякою середньою за модулем швидкістю , яку інколи називають дрейфовою швидкістю носіїв.

Вектор густини струму в провідниках визначається як величина заряду (), що проходить за інтервал часу крізь елемент поверхні перерізу провідника () у напрямі нормалі () до цього елементу перерізу:

(1)

З урахуванням того, що (де -заряд, який несе з собою носій струму, - кількість таких носіїв); (де - концентрація носіїв в об’ємі провідника); з (1) неважко отримати:

(2)

де - вектор дрейфової швидкості носіїв, - об’ємна густина заряду. Вектор густини струму є векторною диференціальною характеристикою електричного струму провідності. Вимірюється у А/м².

Повна сила струму, яка на відміну від густини струму є скалярним інтегральним параметром, визначається так:

(3)

Вона вимірюється в Амперах.

Внаслідок закону збереження електричного заряду, зміна в часі повного заряду , який міститься у певному об’ємі провідного середовища, мусить проявлятися у вигляді струмів, що течуть крізь поверхню , яка обмежує цей об’єм. Математично цей закон можна записати у вигляді в інтегральному вигляді:

(4)

або, застосовуючи інтегральну теорему Гауса () також і в диференціальній формі:

(5)

Рівняння (5) має назву рівняння безперервності струму провідності. Якщо густина заряду є незмінною (стаціонарний струм, ), то рівняння (5) спрощується:

(6)

отже, в об’ємі відсутні джерела та стоки струму провідності.

Ознакою існування в провідникові (провідному середовищі) електричного поля є ненульова різниця потенціалів (напруга) між двома довільними точками провідника. Проте, щоб постійно (або, принаймні, досить довго) підтримувати таку напругу поміж цими двома точками потрібне зовнішнє джерело енергії. Якщо такого зовнішнього джерела немає, то спрямований рух вільних зарядів у провіднику досить швидко вирівняє потенціали поміж точками і електричне поле (отже і струм) зникнуть.

Отже, підтримувати стабільну різницю потенціалів у провідникові мусять сторонні, неелектричні сили. Прилад, який за рахунок сторонніх сил підтримує різницю потенціалів та електричне поле, отже, й електричний струм, має назву джерело струму, або джерело живлення. Для існування стабільного струму в електричному колі в нього потрібно ввести джерело струму. Джерела струму на схемах звичайно зображують двома рисками, причому довша риска – це позитивний полюс (+), а коротша і товща – негативний полюс (-). Джерело струму характеризують величиною енергії, яку отримує від нього одиничний електричний заряд:

(7)

Характеристику (7) називають електрорушійною силою джерела (скорочено - ЕРС). Очевидно, що вона вимірюється у вольтах (В=Дж/Кл.)

Табл.1 Головні властивості електричного струму

ü Закони Ома та Джоуля-Ленца

Закон Ома в диференціальній формі можна отримати з (2), якщо врахувати, що

(8)

де - середній час вільного пробігу носія струму від зіткнення до зіткнення; - його заряд та маса. Підставляючи (8) у (2) маємо наступний вираз для закону Ома:

(9)

де через

(10)

позначено так звану питому провідність провідника.

Густина енергії , яку передає в одиниці об’єму провідника носіїв струму за рахунок зіткнення з іншими частинками за проміжок часу , дорівнює роботі електричного поля з переміщення цих зарядів:

(11)

Останній вираз є законом Джоуля-Ленца в диференційній формі. Його інколи записують у наступному вигляді:

(12)

трактуючи величину як густину потужності електричного струму – потужність, яка виділяється в одиниці об’єму провідника.

Від виразів (9) та (12) легко перейти до відомих інтегральних форм законів Ома та Джоуля-Ленца для однорідної ділянки електричного кола:

(13)

де - так звана провідність, обернена пропорційна електричному опору ділянки ; - площа перерізу та довжина провідника. Опір провідника в СІ вимірюють в омах (Ом): =Ом, а провідність – в сименсах (См).

Формула (13)виражає в інтегральній формі закон Ома для ділянки однорідного кола. Ділянку кола називають однорідною, якщо на ній немає джерел струму. Закон Ома справджується з великою точністю для металевих провідників та електролітів. Відхилення від закону Ома становить близько 1% для струмів дуже великої густини – кількох мільйонів ампер на 1 см². закон порушується і в тих випадках, коли в провідниках не вистачає носіїв електричних зарядів і настає насичення струму (несамостійний розряд у газах), а також при досить високих напругах ат ін. Залежність =називають вольт-амперною характеристикою провідника.

– (закон Джоуля-Ленца)

(14)

де - потужність електричного струму на однорідній ділянці.

Якщо електричне коло є неоднорідним, тобто містить в собі джерела ЕРС, як на рис.2, то закон Ома в інтегральній формі звичайно записують у дещо іншій формі:

(15)

де - еквівалентний опір зовнішнього кола (ланцюга), приєднаного до джерела ЕРС, - внутрішній опір самого джерела.

(16)

Проте з закону Ома для ділянки кола (14) відомо, що - падіння напруги (напруга) на зовнішньому опорі кола. Отже, - падіння напруги на внутрішньому опорі джерела.

ЕРС дорівнює сумі падінь напруги на зовнішньому та внутрішньому опорі кола.

ü Електричний опір. Правила з’єднання провідників

Електричний опір металів зв’язаний з розсіянням електронів провідності на теплових коливаннях кристалічної решітки і структурних неоднорідностях.

Зауважимо, що опір провідника в першому наближенні не залежить від сили струму, який проходить по провіднику, а залежить від його геометричних розмірів, форми та від матеріалу провідника і його стану. Для однорідних провідників циліндричної форми:

(17)

де - довжина провідника, - площа поперечного перерізу, - коефіцієнт пропорційності, який залежить від матеріалу та фізичного стану провідника. Його називають питомим опором матеріалу. Одиницею виміру в СІ є ом на метр: = Ом.м.

Питомий опір провідників значною мірою залежить від домішок, а також від способу виготовлення провідників. Найменший питомий опір мають срібло і мідь. На практиці для передавання електричної енергії використовують дріт із міді або алюмінію. Для виготовлення реостатів, котушок опору використовують сплави з великим питомим опором (ніхром, нікелін).

Як уже зазначалося питомий опір провідників залежить не лише від хімічного складу речовини, а й від його стану, зокрема температури. Залежність питомого опору однорідної речовини від температури характеризують температурним коефіцієнтом опору:

(18)

Температурний коефіцієнт опору чисельно дорівнює відносній зміні опору провідника при зміні його температури на 1 К. Величина для різних речовин різна. Для всіх чистих металів близький до 1/273 К^-1. Він також може дещо змінюватися при зміні температури даної речовини. Деякі сплави мають досить малі значення , наприклад, для константану =0,1*10^-4К^-1. дріт із таких сплавів використовують для виготовлення еталонів опору, котушок вимірювальних місткових схем тощо.

Як показують досліди, для кожного хімічно чистого металевого провідника існує певний інтервал температур, в якому залежність питомого опору від температури має лінійний характер, тобто:

=(1+)

(19)

де - питомий опір, що відповідає початку температурного інтервалу. Здебільшого за початок цього інтервалу беруть температуру С. Залежність опору металів від температури покладено в основу роботи приладів для вимірювання температури (термометри опору), енергії випромінювання (болометри) та автоматичних пристроїв для термостатування, терморегулювання будь-яких процесів з великою точністю.

На рис.3 показано послідовне з’єднання опорів. при такому з’єднанні загальне падіння напруги дорівнює сумі падінь напруги на кожному резисторі (), через кожен з резисторів тече однаковий струм , а їх загальний опір дорівнює сумі опорів резисторів:

(20)

На наступному рис.4 показано паралельне з’єднання провідників (резисторів). В цьому випадку однаковою є напруга на всіх резисторах і на кожному з них (); сила струму на „вході” та „виході” ( до точки розгалуження А і після точки В) є сумою сил струмів, що течуть по кожному резисторові ( ); а загальний опір знаходять з формули:

(21)

Розглянемо тепер способи з’єднання джерел струму.

Почнемо з послідовного з’єднання, коли з’єднують різнойменні полюси, як на рис.5 У такому випадку сумарна ЕРС є просто сумою ЕРС кожного джерела, а їх внутрішні опори також сумуються:

	(22)

При такому способі з’єднання ми виграємо в електрорушійній силі, але збільшуємо внутрішній опір складного джерела.

Не набагато складнішою є ситуація паралельного з’єднання джерел струму, яка показана на наступному рис.6 Розглянемо лише випадок, який найчастіше застосовують на практиці – декілька однакових ЕРС, з’єднаних паралельно. В такому випадку повна ЕРС дорівнює - електрорушійній силі кожного з джерел, а загальний внутрішній опір зменшується в три рази, якщо в ній покласти всі три опори однаковими. Отже, при такому з’єднанні ми не виграємо в ЕРС, але в декілька разів зменшуємо внутрішній опір складного джерела струму.

ü Правила Кірхгофа

Розгалужені кола (електричні ланцюги) містять в якості основних елементів вузли та контури. Вузлами називають точки з’єднання не менш ніж трьох провідників. Контурами називають замкнені частини кола, які можна пройти і повернутися у вихідну точку за годинниковою стрілкою, або в зворотному напрямі.

Щодо вузлів та контурів розгалужених схем існують два правила (два закони) Кірхгофа.

Перше правило Кірхгофа (правило вузлів): Алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю

(23)

В сумі (23) струми, які втікають у вузол, і струми, що витікають, беруться з протилежними знаками. Наприклад для вузла Врис.4 з (23) маємо:

Друге правило Кірхгофа (правило контурів): Алгебраїчна сума падінь напруги в контурі дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, які він містить

(24)

Струми беруться із знаком +, якщо напрям струму співпадає з напрямом обходу контуру. ЕРС в сумі правої частини беруться із знаком плюс, якщо вони проходяться від негативного полюсу до позитивного, і з протилежним знаком, якщо вони проходяться у зворотному напрямі під час обходу контуру. Наприклад для контурів рис.4-5 маємо:

Правила Кірхгофа є корисними під час розрахунків струмів та напруг в розгалужених електричних колах (ланцюгах).

ü Електричний струм у вакуумі. Дослід Ейхенвальда. Струм зміщення

Якщо у вакуумній трубці встановити електроди в з’єднати їх з джерелом високої напруги, а з катоду при цьому виходитимуть електрони (наприклад за рахунок термоелектронної емісії, або фотоемісії, тощо), то у такій трубці протікатиме електричний струм від катоду до аноду (рис.6). Потік електронів з катоду часто називають катодним промінням.

Густина електричного струму у вакуумі дається добре відомим виразом:

(25)

де -кількість електронів в одиниці об’єму (концентрація), -швидкість електронів. Електрони, виходячи з катоду з порівняно невеликими швидкостями, розганяються під час прискореного руху від катода до анода електричним полем з напругою і підходять до аноду з кінетичною енергією, яка дорівнює енергії поля:

(26)

у нерелятивістському випадку (). У релятивістському випадку () маємо:

(27)

Під час зіткнення з анодом електрони різко гальмуються, що призводить до розігріву аноду, а також, - при порівняно великих напругах ,- може спричинити рентгенівське випромінювання з аноду (так зване гальмівне рентгенівське проміння,якеодним з перших спостерігав у лампі власної конструкції професор Віденського університету, українець Іван Пулюй).

Таблиця 2. Робота виходу з деяких металевих катодів (,еВ.)

Термоелектронна емісія, або випромінювання електронів розігрітими поверхнями металів, пов’язано із збільшенням кінетичної енергії вільних електронів металу під час нагрівання. Аби вийти з металу електрон мусить подолати певний енергетичний бар’єр, який утримує його в металі. Цей енергетичний бар’єр називають роботою виходу: (- так званий потенціал виходу), типові величини для низки металів наведені в табл.2

Якщо температура металу достатньо висока, то частина електронів, особливо ті, які займають енергетичні стани вище енергії Фермі, отримують шанси вийти з металу подолавши бар’єр за рахунок теплової енергії. Густина струму термоелектронної емісії підкоряється закону Річардсона:

(28)

де - температура катоду, - робота виходу, а константа Річардсона визначається зарядом та масою вільного електрону:

(29)

де Дж.с – константа Планка, Дж/К – константа Больцмана. Як видно з (28) густина струму термоелектронної емісії швидко зростає з температурою по експоненціальному закону Річардсона.

Струм у вакуумі обумовлений механічним рухом електронів від катоду до аноду, отже він є різновидом струму провідності. Втім існують також струми, які не пов’язані з механічним рухом зарядів.

Експериментально такий струм спостерігав Ейхенвальд, який розташував магнітну стрілку поміж обкладинками великого вакуумного конденсатору. Коли конденсатор розряджався, то механічний рух зарядів (звичайний струм провідності) існував лише у зовнішньому колі конденсатора, тоді як в проміжку поміж обкладинками руху зарядів не було і не могло бути, оскільки термоелектронна емісія виключалася через низьку температуру.

А втім магнітна стрілка, вміщена в цей проміжок реагувала так само, якби Ейхенвальд помістив її поблизу від провідника зі струмом (як свого часу і зробив Ерстед). Магнітна стрілка реагувала на магнітне поле, породжене змінним електричним полем поміж обкладинками конденсатора. Ейхенвальд запропонував для спостереженого ним явища назву „струм зміщення”, підкреслюючи його відмінність від звичайного „струму провідності”, пов’язаного з механічним рухом заряджених частинок. Таким чином, струм зміщення пов’язаний зі зміною електричного поля, але не з механічним рухом зарядів.

ü Електричний струм в газах та електролітах

Космічні промені та слабка природна радіоактивність стінок ємності, в якій перебуває газ, завжди дещо іонізують його. Тому слабенькі струми, зумовлені механічними переміщеннями заряджених іонів поміж електродами, можна зафіксувати при звичайних умовах в будь-якому газі. Густина таких струмів дається виразом:

(30)

де знаки „” стосуються позитивних (катіонів) та негативних іонів (аніонів, або електронів).

Внаслідок процесів рекомбінації (взаємної нейтралізації зарядів різного знаку) їх концентрація в слабих електричних полях завжди є меншою від стаціонарного стану (або стану насичення), в якому всі, або майже всі іони досягають електродів ще до рекомбінації. Типовий вигляд залежності струму в газонаповненому діоді (двохелектродній лампі) показаний на рис.7.

Лише в слабких полях (помітно менших від поля в точці А) спостерігається приблизно лінійна залежність струму від напруги, тобто виконання закону Ома (штрих-пунктирна лінія на рис.7). За межами лінійної ділянки закон Ома, не виконується.

На ділянці А-Вспостерігаємо згадане вище насичення струму, зумовлене тим, що всі іони створені зовнішнім іонізатором досягають електродів. Таким чином, струм насичення є показником потужності зовнішнього іонізатору і може бути його індикатором (що використовують у газових іонізаційних камерах, які є основою дозиметричних приладів).

На ділянці В-Сіонізація, отже й струм, швидко зростають, через те, що розігнані електричним полем іони сягають енергій достатніх для того, щоби іонізувати під час зіткнень нейтральні молекули. Процес ударної іонізації розвивається лавиноподібне, особливо за точкою С.

Електролітичний струм в рідинах зумовлений наявністю в них вільних рухомих іонів обох знаків (катіонів та аніонів). Іони присутні в електролітах внаслідок явища дисоціації молекул під час розчинення електролітичної сполуки в рідині (найчастіше у воді). Якщо електроліт сильний, то дисоціація молекул на іони є майже повною. В слабких електролітах частина молекул залишається нейтральною, не дисоційованою на іони.

Якщо не приймати до уваги взаємодію поміж іонами в електролітах, що справедливо для відносно сильно розбавлених електролітів, то іони з зарядами рухаються в прискорючому полі електродів (- відстань поміж електродами), причому майже миттєво сягають певної граничної постійної швидкості. Внаслідок в’язкого тертя в рідині (з коефіцієнтом в’язкого тертя ) ця швидкість є такою, що

(31)

де - відповідно так звані рухливості катіонів та аніонів, яка є коефіцієнтом пропорційності поміж швидкістю іонів та напруженістю електричного поля. Рухливість іонів залежить від їх заряду та в’язкості електроліту. Якщо припустити, що іони мають сферичну форму з радіусами , то для них можна припустити коректність закону Стокса для коефіцієнту тертя:

(32)

де - коефіцієнт в’язкості електроліту. Звідси маємо для рухливостей іонів:

(33)

а для густини струму в електролітах:

(34)

де є концентрація іонних пар в електроліті.

Вираз (34) переконує нас у справедливості закону Ома у диференційній формі для електролітів. Питома провідність електролітів, як видно з (34) залежить від заряду та радіусів іонів. Вона досить швидко росте з температурою, через те, що з температурою помітно зменшується в’язкість розчину.

Спрощений варіант теорії, викладений вище, непридатний для концентрованих, нерозбавлених електролітів, в яких рухливість іонів помітно зменшується.

Рух іонів в електролітах зумовлює перенос речовини. Сягаючи електродів, іони нейтралізуються, а на електродах відкладається речовина, причому маса речовини, що осідає на електроді, пропорційна перенесеному заряду(оскільки кожний іон несе певний фіксований заряд і має фіксовану масу). Для іонів з валентністю (зарядом) ця відповідність визначається простою формулою:

(35)

де через позначена молекулярна маса речовини, яка переноситься в електроліті, - повний перенесений заряд, Кл. – так зване число Фарадея, яке має фізичний зміст заряду перенесеного разом з одним кіломолем одновалентної речовини.

ü Елементарна класична теорія провідності металів

Деякі важливі властивості вільних електронів в металах безпосередньо пов’язані з їх поведінкою, котра ефективно пояснюється методами статистичної фізики. Класична теорія вільних електронів Друде-Лоренца, створена на початку ХІХ сторіччя, виходила з припущення, що електронний газ в металах можна розглядати як майже ідеальний газ. До основних положень згаданої теорії відносяться наступні твердження:

· вважається, що кожен атом віддає в „загальне користування” не менше одного електрона. Вільні електрони вважаються такими, що не взаємодіють ані з іонами гратки, ані поміж собою (насправді дві ці взаємодії лише частково компенсують одна іншу).

· вважається, що в інтервалах поміж зіткненнями (колізіями) кожен вільний електрон рухається прямолінійно та рівномірно, якщо відсутнє зовнішнє електромагнітне поле. У зовнішніх силових полях вільні електрони рухаються за законами Ньютона.

· зіткнення електронів з іонами гратки мають місце, а зіткнення електронів поміж собою не враховуються

· ймовірність зіткнення для вільного електрону за одиницю часу дорівнює , де - середній час вільного пробігу, або інакше час релаксації.

Виходячи з таких припущень, розглянемо поведінку газу вільних електронів в зовнішньому електричному полі напруженості . На кожний електрон діє сила , яка надає йому прискорення . Модуль середньої швидкості, яку отримують електрони від поля. дорівнює половині максимальної, якщо вважати, що початкова швидкість електрона (швидкість після зіткнення) є нульовою:

(36)

З виразу для густини струму:

(37)

де - концентрація вільних електронів. де - питома провідність металу, залежна від концентрації електронів та часу релаксації (- питомий опір металу).

Таблиця 3.Питома провідність деяких металів

Метал	Li	Na	K	Cs	Cu	Ag	Au	Fe	Al
	T=77K	9.61	12.5	7.25	2.22		33.3		15.2	33.3
T=273K	1.17	2.38	1.64	0.53	6.4	6.62	4.9	1.12	4.08

Таблиця 3 демонструє, що провідність металів помітно падає з температурою. Експериментально частіше вивчають температурну залежність питомого опору. Типовий вигляд такої залежності показано на рис.8 В області високих температур питомий опір росте з температурою лінійно, проте, в невеличкій області ближче до температури абсолютного нуля, він перестає залежати від температури. В цій області питомий опір (остаточний опір) визначається домішками та дефектами кристалів. Одним з недоліків теорії газу вільних електронів Друде-Лоренца є нездатність пояснити залежність, показану на рис.8. Замість лінійної залежності, ця теорія дає залежність типу , що не відповідає експериментальним даним.

Виходячи з постулатів теорії Друде-Лоренца можна отримати також і закон Джоуля-Ленца.

Рекомендована література:

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Том II. Электричечтво – М.: Наука, 1988 – с.11-34.

2. Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика: Електрика і магнетизм. – К.: Вища шк., 1995. – с.3-26.

3. Калашников С.Г. Электричество. – М.:Наука, 1985. – 576 С.