Визначення

Визначення

Завдання

Запитання

1. Запишіть за допомогою позначень твердження, що елемент а належить множині А, а елемент b не належить множині А.

2. Наведіть приклади множин, елементами яких є множини.

3. Наведіть приклади скінченних і нескінченних множин.

4. Яку множину називають упорядкованою?

5. Назвіть відомі вам способи задания множин. В якому випадку не можна застосувати той або інший спосіб?

6. В яких випадках множина задана некоректно?

7. Які протиріччя (парадокси) можуть виникнути при визначенні множин? Наведіть приклади.

1. Задайте переліченням елементів такі множини:

а) множину натуральних чисел, не більших за 7;

б) множину букв вашого імені;

в) множину, єдиним елементом якої є назва вашого міста;

г) множину простих чисел між 10 і 20;

д) множину додатних чисел, що кратні 12.

2. Задайте у вигляді X = {х | Р(х)} такі множини:

а) множину натуральних чисел, не більших за 100;

б) множину парних додатних чисел;

в) множину натуральних чисел, що кратні 10.

3. Назвіть елементи множин:

а) {х | х Î N, 3 < х < 12};

б) {х | х — десяткова цифра}.

4. Визначте, елементом яких з наведених множин є 2:

а) {х | х Î N, х > 1};

б) {х | х = у², у Î Z};

в) {2, {2}}.

1.2. Основні поняття теорії множин

Рівність множин, включення множин, універсальна і порожня множини, степінь множини

Розглянемо поняття рівності множини.

Дві множини рівні, якщо вони містять однаковий набір елементів. Позначається А = В. Якщо множини не рівні, це позначається А ¹ В. Число елементів скінченної множини А позначимо через |А|.

Для множин А і В з нескінченним або великим числом елементів перевірка збігу наборів всіх елементів може бути важкою. Більш ефективною виявляється логічна перевірка двостороннього включення. А саме, А = В тоді і тільки тоді, коли з х Î А виходить х Î В і з у Î В виходить у Î А.

Розглянемо приклад.

Приклад.Нехай задані множини

А ={1, 2, 3, 4, 5};

В — множина натуральних чисел від 1 до 5;

С = {с|1 £ с £ 5, с Î N};

D = {4, 1, 5, 2, 3}.

Ці множини містять один набір елементів, тому А = В = C = D.

При заданні множин можуть бути неточності або збитковості, які необхідно усувати. Розглянемо приклади.

Приклад.Розглянемо множину А залишків, що одержуються при послідовному діленні натуральних чисел {3, 4, 5, 6, ...} на 3: А = {0, 1,2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...}. Ця множина містить всього три елементи: 0, 1, 2. Тому її можна записати у вигляді А = {0, 1,2}.

Приклад.Нехай В — множина всіх видів шахових фігур, а С — множина всіх шахових фігур, що беруть участь в одній грі. Тоді |В| = 6 (пішак, тура, слон, кінь, ферзь, король), а |С| = 32 (16 білих і 16 чорних).

Множина А, всі елементи якої належать множині В, називається підмножиноюмножини В.

Множини

Позначення. Нестроге включення позначається А Í В, означає, що А — підмножина множини В, що, можливо, співпадає з В. Строге включенняпозначається А Ì В і означає, що А — підмножина множини В, що не співпадає з В. Символьний вираз А Ì В читають «А включено до В».

Виконання співвідношень A Í В і В Í А можливе тільки при А= В. І зворотно, А = В, якщо А Í В і В Í А водночас. Зауважимо, що іноді в літературі символом Ì позначають «нестроге» включення, що допускає і рівність множин. У цьому випадку символ Í не використовується, а строге включення записують двома співвідношеннями А Ì В, А ¹ В.

Приклад.Для множини додатних чисел R₊ використовується знак строгого включення відносно множини дійсних чисел: R₊ Ì R.

Приклад.Позначимо множину учнів деякого класу через X, множину відмінників у цьому класі — через Y. Тоді Y Í X, оскільки множина відмінників у класі включена до множини учнів цього класу і теоретично може дорівнювати їй.