Структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения произвольного порядка.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением –го порядка называется уравнение

(2.15.1)

или

(2.15.2)

Здесь по прежнему , а под неоднородностью понимается равенство левой части некоторой функции .

Пусть – линейно независимые частные решения соответствующего линейного однородного уравнения (2.14.1), а – его общее решение, обозначим некоторое частное решение неоднородного уравнения (2.15.1).

Теорема 1. (о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и некоторого частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

. (2.15.3)

Доказательство:

Легко видеть, что в силу линейности уравнения функция (2.15.3) является решением уравнения (2.15.1). Функция (2.15.3) будет общим решение только в том случае, если с ее помощью можно будет решить любую задачу Коши.

Рассмотрим произвольные начальные условия

. (2.15.4)

Подставляя функцию (2.15.3) в условия (2.15.4), получаем линейную систему уравнений

(2.15.5)

для вычисления значений . Главным определителем системы (2.15.5) является определитель Вронского

.

в точке . Так как система функций является линейно независимой, то определитель Вронского отличен от нуля, следовательно система (2.15.5) имеет единственное решение. Таким образом, мы решили произвольную задачу Коши, что и требовалось доказать.

Теорема 2. (о структуре частного решения линейного неоднородного ДУ).

Если , то частное решение уравнения (2.15.2) можно представить в виде , где есть частные решения уравнений .

(Доказать самостоятельно).