Метод подстановки (замены переменной) в определенном интеграле

Сформулируем метод интегрирования заменой переменной применительно к определенным интегралам, как и ранее, в двух вариантах.

Пусть требуется вычислить интеграл

где – непрерывная на отрезке функция.

Вариант. I.

1⁰. Выбираем новую переменную , связанную с исходной переменной формулой . Функция – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию на отрезке где .

2⁰. Находим определенный интеграл относительно новой переменной:

(2.1)

Представим схему реализации 1-го варианта метода подстановки:

Покажем применение этого варианта метода подстановки на конкретном примере.

Пример 2.1.

Решение. Произведем замену переменной по формуле .

Пример 2.2.

Решение.Произведем замену переменной:

Вариант II.

1⁰. В том случае, когда подынтегральное выражение имеет вид: , подбираем подстановку в виде функции . Вычисляем новые пределы интегрирования:

2⁰. Находим неопределенный интеграл относительно новой переменной:

(1.2)

Представим схему, аналогичную предыдущей:

Рассмотрим применения метода подстановки.

Пример 2.3.

Решение. В соответствии с вариантом II произведем замену переменной и перейдем к новым пределам интегрирования:

Пример 2.4.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, выделив в знаменателе полный квадрат разности двух чисел,

.

Пример 2.5.

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат суммы двух чисел,

При вычислении интегралов методом подстановки можно и не определять новые пределы интегрирования, а найти первообразную и возвратиться к прежней переменной. Проиллюстрируем это примером.

Пример 2.6.

Решение. Найдем первообразную подынтегральной функции: