Функция распределения молекул идеального газа по модулю скорости молекул

Пусть идеальный газ (его молекулы на расстоянии не взаимодействуют) находится в закрытом сосуде в равновесном состоянии при температуре .

Для того чтобы ввести функцию распределения молекул по модулю скорости, возьмем произвольную молекулу идеального газа, и через равные промежутки времени будем измерять модуль ее скорости. Пусть из общего числа N опытов дает число опытов, в которых скорости молекул попадают в интервал скоростей (,+). Тогда вероятность попадания скорости молекулы в малый интервал скоростей будет равна

при стремлении общего числа опытов к бесконечности (). Это позволяет согласно формуле (2.2) ввести функцию распределения молекул по модулю скорости

. (2.6)

Случайным в выражении (2.6) является номер выбираемой молекулы, над которой проводятся опыты, а закономерным то, что вероятность попадания значений скоростей молекулы в интервал скоростей (,+) остается все время постоянной величиной и не зависит от номера выбираемой молекулы.

Итак, функция является плотностью вероятности и равна отношению вероятности попадания модуля скорости молекулы в интервал скоростей (,+) к величине этого интервала .

Можно предложить другой способ определения, другой физический смысл функции распределения . Для этого зафиксируем в какой-то момент временискорости всех молекул и нанесем их на ось скоростей (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Число молекул , попадающих в интервал скоростей (,+), будет зависеть от общего числа молекул , от величины интервала скоростей и от скорости , вблизи которой берется этот интервал. Эту зависимость от скорости можно описать с помощью функции . Тогда

. (2.7)

Итак, функция равна отношению относительного числа молекул (), скорости которых попадают в бесконечно малый интервал скоростей (,+), к величине этого интервала .

Входящая в формулы (2.6) и (2.7) функция получила название функции распределения молекул по модулю скорости или функции распределения Максвелла. Случайным в формуле (2.7) являются номера молекул, скорости которых попадают в заданный интервал скоростей, а закономерным то, что их число остается постоянным и не зависит от номеров молекул. Формула для этой функции была получена в 1859 г. английским ученым Максвеллом и она имеет вид:

. (2.8)

В формуле (2.8) обозначает массу одной молекулы, а - это постоянная Больцмана.

График функции приведен на рис. 2.3,а. Из него видно, что при скорости молекулы , равной нулю (), функция обращается в ноль, затем функция нарастает и при скорости, называемой наиболее вероятной

Рис. 2.3

скоростью молекул, достигает максимального значения, после этого она спадает до нуля при скоростях молекул, стремящихся к бесконечности.

Зная функцию распределения молекул идеального газа по скоростям , можно найти относительное число молекул , скорости которых попадают в интервал скоростей (,), или вероятность попадания скорости одной молекулы в интервал скоростей (,):

. (2.9)

Графически эта величина (или ) представляет собой площадь под графиком функциив пределах интервала скоростей от до (рис. 2.3,а). В случае малого интервала скоростей (в его пределах функция распределения остается примерно постоянной величиной) можно с достаточной степенью точности рассчитать относительное число () молекул или вероятность по упрощенной формуле

. (2.10)

В этом случае площадь под графиком функции будет представлять собой площадь прямоугольной полоски (рис. 2.3,а).

Можно дать пояснение названию наиболее вероятной скорости молекул - если выбирать одинаковый интервал скоростей около различных значений скорости , то вблизи скорости в малый интервал скоростей попадет наибольшее число молекул (площадь прямоугольной полоски шириной будет наибольшей).

Площадь под графиком функции распределения будет равна единице

, (2.11)

это выражение называют условием нормировки. Интеграл в формуле (2.11) представляет собой вероятность того, что скорость отдельной молекулы попадает в область всех возможных значений скоростей, а это является достоверным событием, вероятность которого равна единице.

По другой трактовке функции распределения этот интеграл представляет собой относительное число молекул, скорости которых попадают в область всевозможных значений скоростей, что приводит также к единице в формуле (2.11).