И параметрически
2.1. Дифференцирование функций заданных неявно
Пусть зависимость между аргументом и функцией задана уравнением , т.е. уравнение не разрешено явно относительно переменной .
О.2.1.Функция, заданная уравнением
(2)
называется заданной неявно , если оно обращается в тождество при замене на на некотором промежутке , т.е.
Считаем, что условия существования и дифференцируемости неявной функции выполнены (теорема будет сформулирована в теме «Функции нескольких переменных») т.е. уравнение (2) определяет некоторую функцию.
Например: - уравнение окружности определяет функцию , которая будучи подставленной в уравнение приведет его к тождеству. Однако это возможно не всегда.
Правило дифференцирования неявной функции.
Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать уравнение (2) помня, что является функцией от и его производная равна . Затем разрешить полученное уравнение относительно .
Производная неявной функции сама является функцией неявной.
Замечание 2. Термины «явная функция», «неявная функция» характеризуют не способы задания функции, а характер зависимости от . Каждая явная функция , может быть представлена как неявная:
.
Пример. Найти производную функции
.
Решение.
Функция задана неявно. Дифференцируем данное уравнение по помня, что есть функция от , т.е. , получим:
откуда
2.2. Дифференцирование функций заданных параметрически
В геометрии при изучении линий на плоскости и в пространстве мы познакомились с их параметрическими уравнениями. Параметрическое задание кривых широко применяется в механике. Если в плоскости движется некоторая материальная точка и известны законы движения проекций этой точки на оси координат
(3)
где параметр есть время, то уравнение (3) есть параметрическое уравнение траектории движущейся точки. Исключая из (3) параметр , получим уравнение траектории в форме (в явном виде) или ( в неявном виде).
О.2.2. Функция называется заданной параметрически, если и аргумент и функция есть функции одной и той же вспомогательной переменной - параметра .
( (3) - параметрическое задание функции ).
Отыскание из системы (3) непосредственной связи между и без участия переменной называется исключением параметра.
Итак, пусть функция задана параметрически системой (3), где .
Предположим, что функции и дифференцируемы и функция имеет обратную , которая также дифференцируема. Тогда заданную параметрически функцию можно рассматривать как сложную функцию где , а - промежуточный аргумент.
По правилу дифференцирования сложной функции получим:
(4)
На основании теоремы о дифференцировании обратной функции
Подставляя в равенство (4), получим
(5)
Полученная формула (5) дает возможность находить производную параметрически заданной функции не исключая параметра.
Пример. Функция задана параметрически уравнениями:
Найти .
Решение