Среднеквадратическое отклонение ДСВ: определение, сущность, свойства.

Доказательство.

Доказательство.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0. (11)

D(C) = M ((C – M(C)) ²) = M ((C – C) ²) = M(0) = 0.

Следовательно, дисперсия не изменится, если к случайной величине прибавить константу.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D (CX) = C²D(X). (12)

Доказательство.

D (CX) = M ((CX – M (CX)) ²) = M ((CX – CM(X)) ²) = M (C²(X – M(X)) ²) = C²D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (13)

D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y)) ² =

= M(X²) + 2M(X)M(Y) ++ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) =

= (M(X²) – M²(X)) + (M (Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) + D(Y). (14)

Доказательство.

D(X – Y) = D(X) + D (-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать .

Определение 4. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (15)

Для упрощения записей часто пользуются сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: и . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, иногда опускают значок «х» у и и пишут просто σ и D.

Пример 3. В задаче 6 средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно

Задача 7. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие A, вероятность которого равна p. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A (характеристическая случайная величина события A). Определить её характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины A имеет вид:

где q = 1– p – вероятность непоявления события .

По формуле (1) находим математическое ожидание величины X:

.

Дисперсию величины X определяем по формуле (8):

,

откуда

.

Задача 8. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина X – число попаданий. Определить характеристики величины X: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

Вычисляем числовые характеристики величины X:

Задача 9. Производится ряд независимых опытов до первого появления события A. Вероятность события A в каждом опыте равна p . Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа опытов, которое будет произведено.

Решение. Ряд распределения величины X имеет вид:

В задаче 2 найдено математическое ожидание величины X:

Для определения дисперсии величины X вычислим сначала величину α₂ - второй начальный момент X:

Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд:

Получим:

Дифференцируя этот ряд по q, имеем:

Умножая на , получим:

По формуле (7) выразим дисперсию:

откуда

Задача 10.Дан массив из тысячи случайных чисел X, состоящий из единиц с чередованием знака:

1, -1, 1, -1, … , 1, -1.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X. Построить график функции распределения.